Ta CM Bổ đề sau
$x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2(xy+yz+zx)$ với $x;y;z$ không âm
Để ý trong 3 số $x;y;z $ tồn tại 2 số cùng phía với 1, giả sử là x và y
$\Rightarrow 2z(x-1)(y-1)\ge0\Leftrightarrow 2xz+2yz\le2xyz+2z\le2xyz+z^2+1$
mà $2xy\le x^2+y^2$
Suy ra bổ đề đc CM
Dễ thấy $|ab|+|bc|+|ca|\ge ab+bc+ca$Ta CM $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\ge9(|ab|+|bc|+|ca|)$
Đặt $|a|=x;|b|=y;|c|=z(x;y;z\ge0)$
BĐT$\Leftrightarrow (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)\ge9(xy+yz+zx)$
$\Leftrightarrow x^2y^2z^2+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+4(x^2+y^2+z^2)+8\ge9(xy+yz+zx)$
Có $2(x^2y^2+1+y^2z^2+1+z^2x^2+1)\ge4(xy+yz+zx)$
$3(x^2+y^2+z^2)\ge3(xy+yz+zx)$
$x^2y^2z^2+2+x^2+y^2+z^2\ge 2xyz+1+x^2+y^2+z^2\ge 2(xy+yz+zx)$
Vậy ta có đpcm