Đặt $VT=f(k)$
Ta có $f(k)=\sum \frac{a^2}{(a-b)^2}+k \sum \frac{ab}{(a-b)^2}$ với $k \in[0;1]$
Đây là hàm bậc nhất theo $k$ nên ta luôn có $f(k) \ge \min \{f(0),f(1)\}$
$\bullet f(0)= \frac{a^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2}{(c-a)^2}$
Với $c=0$ thì $f(0)>1$
Với $c\ne 0$,Đặt $\begin{cases}a=xc \\ b=yc \end{cases}$ ($xy \ne0 ,x \ne y,x\ne 1,y \ne 1)$
Khi đó $f(0)=\frac{x^2}{(x-y)^2}+\frac{y^2}{(1-y)^2}+\frac{1}{(x-1)^2} $
$=1+\left( \frac{-yx^2+3xy-x-y^2}{(x-y)(1-y)(x-1)}\right)^2 \ge 1$
Vậy $f(0) \ge1 $ đẳng thức xảy ra chẳng hạn $a=1,b=4,c=-2$
$\bullet f(1)=\sum \frac{a^2+ab}{(a-b)^2}$
$=\frac{x^2+xy}{(x-y)^2}+\frac{y^2+y}{(y-1)^2}+\frac{x+1}{(x-1)^2}$
$=\frac 78+\frac 18\left(\frac{3x^2y+x^2+xy^2-12xy+3x+3y^2+y}{(x-y)(y-1)(x-1)} \right)^2 \ge \frac 78$
Vậy $f(1) \ge \frac 78$
Từ đó suy ra $f(k) \ge \frac 78$ (dpcm)
Đẳng thức xảy ra chẳng hạn $a=1,b=-3,c=0$ và $k=1$