Xét phương trình hoành độ : $\frac{-x+1}{2x-1}=x+m$
$\Leftrightarrow (2x-1).(x+m)=-x+1$
$\Leftrightarrow 2x^{2}+2mx-(m+1)=0 $ (*)
Có : $\Delta '_{(*)}=m^{2}+2m+2 >0$ $\forall m$
$\Rightarrow y=x+m $ luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
Gọi $A_{(x_{1};y_{1})},B_{(x_{2};y_{2})}$
$y'=\frac{-1}{(2x-1)^{2}}$ nên $k_{1}=\frac{-1}{(2x_{1}-1)^{2}}; k_{2}=\frac{-1}{(2x_{2}-1)^{2}}$
Theo Vi-et : $\left\{ \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-m\\ x_{1}.x_{2}=-\frac{m+1}{2} \end{array} \right.$
Vậy nên : $k_{1}+k_{2}=\frac{-1}{(2x_{1}-1)^{2}}-\frac{1}{(2x_{2}-1)^{2}}$
( Quy đồng thay Vi-et vào ......) ta được :
$k_{1}+k_{2}=-4m^{2}-8m-6$
$=-[(2m+2)^{2}+2]\leq -2$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow m=-1$
Vậy $m=-1$ thì $k_{1}+k_{2}$ max