Từ 1 bài toán cũ

Question

Với mọi

$a,b,c$ không âm

Đặt

$\color{brown}{S=\frac{a^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{b^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{c^2}{2c^2+(a+b)^2}}$

Chứng minh

$\frac 12 \le S \le \frac 23$

Nguồn : http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/135828/can-you-give-me-your-hand

Mình vô tình cm đc

$S \le \frac 23$ :)) có thể đây là bài toán gốc

score 10 · Answer 1

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

Ta có: Ta sẽ CM

$S\geq \frac{1}{2}$

Ta có :

$(b+c)^2\leq 2b^2+2c^2$ (bđt Cauchy và biến đổi tổng bình phương) tương tự với các cặp còn lại ta có

$\Rightarrow S\geq \Sigma \frac{a^2}{2a^2+2b^2+2c^2}=\frac{1}{2}$ dấu = xảy ra khi và chỉ khi

$a=b=c\neq 0\vee a=b=0,c\neq 0$

lịch sử

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Ta có : Giả sử

$a\geq b\geq c\geq 0$ Ta có :

$S\leq \Sigma \frac{a^2}{2a^2+b^2}$ (vì

$c\geq$ 0)

ta chỉ cần cm :

$\Sigma\frac{a^2}{2a^2+b^2}\leq\frac{2}{3}$

$\Leftrightarrow3a^2(2b^2+a^2)+3b^2(2a^2+b^2)\leq 2(2a^2+b^2)(2b^2+a^2)$

$\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2\geq 0$ (luôn đúng )

$\Rightarrow$ đpcm dấu = xảy ra

$\Leftrightarrow a=b,c=0$

lịch sử

rốt cục bài này cm sao z:) – ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩ 18-07-16 04:09 PM

-____-'' còn c/m bước cuối là a^2/2bc cộng b^2/2ac cộng c^2/2ab<=3 mà k đc,tiếc thật,sai hết dấu = – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 17-07-16 09:14 PM

a=b,c=0 đấy – tran85295 17-07-16 09:09 PM

thế dấu = khi S<=2/3 là j a? – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 17-07-16 09:08 PM

ồ,thế thì k đc r – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 17-07-16 09:06 PM

thế thì ko đc rồi :) nếu đc thì khi đó dấu = xảy ra khi a=b=c=0 mà nó làm cho mẫu = 0 luôn – tran85295 17-07-16 09:05 PM

không âm – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 17-07-16 09:04 PM

với điều kiện a,b,c thế nào tùng nhỉ – tran85295 17-07-16 09:02 PM

a nam ơi (a cộng b cộng c)^2/2(ab cộng bc cộng ca)<= (a cộng b cộng c)^2/ (ab cộng bc cộng ca) đc k? – ๖ۣۜTQT☾♋☽ 17-07-16 09:00 PM

à thấy rồi – ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩ 17-07-16 08:56 PM

sai chỗ nào vậy bn :) – ≧◔◡◔≦ ۩๖ۣۜNguyễn's Đức♫10x۩ 17-07-16 08:55 PM

chỗ này sai rồi – tran85295 17-07-16 08:52 PM

Hỏi	17-07-16 08:09 PM
Lượt xem	1493
Hoạt động	17-07-16 08:43 PM

Từ 1 bài toán cũ

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Từ 1 bài toán cũ

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan