Ta có: $a^4+a^2b^2+b^4=\frac{3}{4}(a^2+b^2)^2+\frac{1}{4}(a^2-b^2)^2 \geq \frac{3}{4}(a^2+b^2)^2$$\Leftrightarrow \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(a^2+b^2)$
Chứng minh tương tự cho 2 căn thức còn lại.
Cộng lại ta có $VT\geq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)$ $(1)$
Bây giờ xét vế phải. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki $(ax+by+cz)^2\leq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$
Áp dụng ta có : $VP^2\leq (a^2+b^2+c^2)(2a^2+2b^2+2c^2+ab+ac+bc)\leq 3(a^2+b^2+c^2)^2$
$\Rightarrow VP\leq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta có đpcm. Dấu bằng khi a=b=c