Đặt biểu thức cần tìm Min là P.
Ta có : $P=\sum \frac{\sqrt{a^2+ab+b^2}}{bc+4} = \sum \frac{\sqrt{\frac{3}{4}.(a+b)^2+\frac{1}{4}.(a-b)^2}}{bc+4}$
$P\geq \sum \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}.(a+b)}{bc+4} \Rightarrow P \geq \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}.(a+b)}{bc+4} $
Do đó chỉ cần tìm Min của biểu thức : M=$\sum \frac{a+b}{bc+4} $
Ta có : $M=(\frac{a}{bc+4}+\frac{a}{ab+4})+(\frac{b}{bc+4}+\frac{b}{ac+4})+(\frac{c}{ca+4}+\frac{c}{ab+4})$
Xét $A=\frac{a}{bc+4}+\frac{a}{ab+4}=a. (\frac{1}{bc+4}+\frac{1}{ab+4})\geq \frac{4a}{bc+ab+8}$
$\Rightarrow A\geq \frac{4a}{bc+(6-b-c).b+8}\Rightarrow A\geq \frac{4a}{-b^2+6b+8}=\frac{4a}{-(b-2)^2+2b+12} \geq \frac{4a}{2b+12}$
$A \geq \frac{2a}{b+6}$
Tương tự cho các phân thức còn lại sau đó cộng lại ta được: $M \geq \sum \frac{2a}{b+6}$
$M \geq \sum \frac{2a^2}{ab+6a} \geq \frac{2.(a+b+c)^2}{ab+ac+bc+6(a+b+c)} $ (Theo $Cauchy-Schwart $ )
$\Rightarrow M \geq \frac{2.6^2}{\frac{(a+b+c)^2}{3}+6.6} = \frac{3}{2}$ (Theo $Cauchy$ và $a+b+c=6$ )
Vậy $P\geq \frac{3\sqrt{3}}{4}$. dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=2$