BĐT

Giải như sau:

Giả sử $a$ là số lớn nhất trong 3 số $a,b,c$ ,thế thì $a$ nhỏ hơn 3 và không nhỏ hơn 1

ta thấy $9=(42a-48)+(42b-\frac{69}{2})+(42c-\frac{69}{2})$

Thay và BĐT ban đầu ta thấy tương đương

$(\frac{8}{b}-10b^2+42b-\frac{69}{2})+(\frac{8}{c}-10c^2+42c-\frac{69}{2})\ge 10a^2-\frac{8}{a}-42a+48\iff \frac{(16-5b)(2b-1{)}^2}{b}+\frac{(16-52)(2c-1{)}^2}{c}\ge \frac{4(5a-1)(a-2{)}^2}{a}$

Áp dụng BCS ,ta có:

$VT$ $\ge \frac{(2b-1+2c-1{)}^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}=\frac{4(a-2{)}^2}{\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}}$

Lúc này ta chỉ cần chứng minh 

$\frac{a}{5a-1}\ge \frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}$

Mà $\frac{b}{16-5b}+\frac{c}{16-5c}\le \frac{b}{16-5a}+\frac{c}{16-5a}=\frac{3-a}{16-5a}\le \frac{a}{5a-1}\iff \frac{1}{(5a-1)(16-5a)}>0$

ĐÚng theo giả thiết,từ đây ta suy ra đ.p.c.m

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1/2 ,c=2$ cùng hoán vị 

Cách 2: 

Ta có BĐT tương đương

$f(abc,a+b+c,ab+bc+ca)$ =$8.\frac{ab+bc+ca}{abc}+9-10\left(\right(a+b+c{)}^2-2(ab+bc+ca))\ge 0$

Nhận thấy đây là hàm đơn điệu trên $R$ theo $abc$ nên theo định lý $ABC$, hàm số đạt cực tiểu khi có 2 biến = nhau, nên $a=b=$$\frac{3-c}{2}$

Thay vào và chứng minh BĐT 1 biến $c$ ,bài toán trở nên quá đơn giản 

Ta có:

BĐT tương đương

$\frac{5}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})-10(a^2+b^2)+\frac{27}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+\frac{8}{c}+9-10c^2\ge 0\iff 5\frac{(a+b)-8ab(a^2+b^2)}{4ab}+\frac{27}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})+\frac{8}{c}+9-10c^2\ge 0$

Lại có : $4ab\le (a+b{)}^2$ , $8ab(a^2+b^2)\le (a+b{)}^4$,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$

Nên VT $\ge A=5.\frac{1-(a+b{)}^3}{a+b}+\frac{27}{a+b}+\frac{8}{c}+9-10c^2$

Thay a+b=3-c,ta thấy $\ge 0\iff (2-c)\frac{(35c^2+12-6c-15c^3)}{c(3-c)}\ge 0$

DO vai trò của a,b,c như nhau,không mất tính tổng quát,giả sử c không lớn hơn 2, nên 2-c không âm

Còn phương trình $35c^2+12-6c-15c^3$ ,ta nhận thấy,theo như điều giả sử thì $15c^3\le 30c^2$ và $6c\le 12$ nên hiển nhiên biểu thức đó lớn hơn 0,từ đây hoàn tất cm ban đầu

Như vậy,ta đã chứng minh được bài toán.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\frac{1}{2}$ , $c=2$ cùng các hoán vị