Áp dụng BĐT Cô-si ta có$(a+7)+8+8\geq 3\sqrt[3]{64(a+7)}=12\sqrt[3]{a+7}$
Làm tương tự rồi cộng vế với vế được $\sqrt[3]{a+7}+\sqrt[3]{b+7}+\sqrt[3]{c+7}\leq \frac{a+b+c+69}{12}$
Mặt khác theo bđt Cô-si $a^4+1+1+1\geq4a\Rightarrow \frac{a+b+c+69}{12}\leq \frac{a^4+b^4+c^4+285}{48}$
Cần cm $\frac{a^4+b^4+c^4+285}{48}\leq 2(a^4+b^4+c^4)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq 3$ với $ab^2+bc^2+ca^2=3$
Dùng bđt Cô-si ta có $a^4+b^4+b^4+1\geq 4ab^2(1);b^4+c^4+c^4+1\geq 4bc^2(2);c^4+a^4+a^4+1\geq 4ca^2(3)$
Cộng vế với vế của (1);(2);(3) suy ra đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$