Ko mất tính tổng quát, giả sử a1=max
Khi đó
\frac{a_2}{a_1+a_3+a_4+...+a_{n}+1} \le \frac{a_2}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1 }
\frac{a_3}{a_1+a_2+a_4+...+a_{n}+1} \le \frac{a_3}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1 }
\frac{a_4}{a_1+a_2+a_3+a_5+...+a_{n}+1} \le \frac{a_4}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1 }
\begin{matrix} ............\\ ............ \end{matrix}
\frac{a_{n+1}}{a_1+a_2+a_3+...+a_n} \le \frac{a_4}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1 }
Do đó \sum_{cyc}\frac{a_1}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1} \le \frac{a_1+a_2+a_3...+a_{n}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1}
Nên chỉ cần cm
f(a_1)=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{n}}{a_2+a_3+a_4+...+a_{n}+1}+\prod_{i=1}^n(a_i-1)-1 \le 0
Biểu thức f(a_1) là hàm bậc nhất theo biến a_1\in[0;1]
\Rightarrow f(a_1) \le \max \lbrace {f(0);f(1)} \rbrace
Lại có f(1)=0,f(0)=0 (do a_1=\max \lbrace a_1,a_2,a_3,...a_n \rbrace, và a_1=0)
\Rightarrow dpcm
Đẳng thức xảy ra khi các biến nhận giá trị 0,1