Ta có :
$\forall x,y>0 $ ta có $x^{2}+y^{2} \geq 2xy<=>x^{2}\geq 2xy-y^{2}<=>\frac{x^{2}}{y}\geq 2x-y$
$=>\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+b^{2}}}=\sqrt{\frac{(a^{2}+ab+1)^{2}}{a^{2}+3ab+b^{2}}}\geq \sqrt{2(a^{2}+ab+1)-(a^{2}+3ab+b^{2})}$
$=\sqrt{2+a^{2}-c^{2}-ab}\geq \sqrt{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+a^{2}-c^{2}-\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}$
$=\sqrt{\frac{5a^{2}+3b^{2}+2c^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{10(a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}+a^{2}+b^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2})}{20}}$
$\geq \frac{\sqrt{(a+a+a+a+a+b+b+b+c+c)^{2}}}{2\sqrt{5}}=\frac{5a+3b+2c}{2\sqrt{5}}$
Tương tự cộng lại ta được điều cần chứng minh
Đẳng thức xảy ra $<=>a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$