bất đẳng thức 2

Question

Cho x,y,z là các số dương thoả mãn xyz=1.Tìm GTNN của biểu thức :

$P=\frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^{2}(z+x)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^{2}(x+y)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$

Bloody's Rose · Answer 1 · 6/21/2016 10:57:12 AM

ÁD BĐT AM-GM cho 2 số dương ta đc:

$x^{2}(y+z)\geq2x^{2}\sqrt{yz}=2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}$

$\Rightarrow P\geq\Sigma \frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$

Đặt

$a=x\sqrt{x};b=y\sqrt{y};c=z\sqrt{z}\Rightarrow abc=1$

Ta có:

$P\geq \Sigma \frac{2a}{b+2c}=2\left[ {\Sigma \frac{a^{2}}{a(b+2c)}} \right]\geq \frac{2(a+b+c)^{2}}{a(b+2c)+b(c+2a)+c(a+2b)}$

=

$\frac{2(a+b+c)^{2}}{3(ab+bc+ca)}\geq2$

Dấu''='' xra

$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Trả lời 21-06-16 10:57 AM

Bloody's Rose
1

142K 715K

score 9 · Answer 2

cám ơn Bloody's Rose nha ! mình làm theo cách khác nha ! Ta có :

$x^{2}(y+z)\geq x^{2}2\sqrt{yz}=2x^{2}\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}$ =>

$P\geq \frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}$ Đặt

$y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c;x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a$

$=>x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}$ Do đó ;

$P\geq \frac{2}{9}(\frac{4c+a-2b}{9}+\frac{4a+b-2c}{9}+\frac{4b+c-2a}{9})$ <=>

$P\geq \frac{2}{9}(4(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})-6)$ <=>

$P\geq \frac{2}{9}(4*3+3-6)=2$ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1.Vậy Pmin=2

đại khái là đến bước tạo ra ẩn phụ đấy..cái BĐT sau có mấy chục cách giả cơ ....

2 Đáp án