KMTTQ, giả sử $x \ge y \ge z$Khi đó $\frac{x}{y+z} \ge \frac{y}{z+x} \ge \frac{z}{x+y},\frac{x^2}{y^2+z^2} \ge \frac{y^2}{z^2+x^2} \ge \frac{z^2}{x^2+y^2}$
Áp dụng bdt Chebychev cho 3 dãy đơn điệu cùng chiều, ta có
$9\left(x.\frac{x}{y+z}.\frac{x^2}{y^2+z^2}+y.\frac{y}{z+x}.\frac{y^2}{z^2+x^2}+z.\frac{z}{x+y}.\frac{z^2}{x^2+y^2} \right)\\ \ge (x+y+z)\left( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \right)\left( \frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{z^2+x^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2} \right) \\\overset{Nesbit}\ge 3.\frac 32.\frac 32\Leftrightarrow VT \ge \frac 34$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$