Điều kiện của hệ là $|x|\geq\frac{2}{3}$. Kí hiệu (1) và (2) lần lượt là phương trình đầu và cuối của hệ.
Khi đó (1) tương đương với $2016^x(\sqrt{x^2+1}-x)=2016^{-y}[\sqrt{(-y)^2+2}+(-y)]$ (3).
Xét hàm số $f(t)=2016^t(\sqrt{t^2+1}-t),\forall t\in R$.
khi đó có $f'(t)=\frac{2016^t(\sqrt{t^2+2}-t)(ln2016\sqrt{t^2+2}-1)}{\sqrt{t^2+2}}>0,\forall t\in R$. Suy ra $f$ tằng trên $R$.
Như vậy, (3) tương đương với $f(x)=f(-y)$, hay $y=-x$ (4).
Từ (4) cho thấy, (2) tương đương với $25x^2+9x\sqrt{9x^2-4}=2+\frac{18x^2}{x^2+1}$ (5).
Rõ ràng (5) không có nghiệm thực khi $x\geq \frac{2}{3}$.
Xét $x\leq -\frac{2}{3}$. Đặt $t=x^2$ với $t\geq \frac{4}{9}$, thì (5) trở thành $25t-9\sqrt{9t^2-4t}-20+\frac{18}{t+1}=0$ (6).
Xét hàm số $g(t)=25t-9\sqrt{9t^2-4t}-20+\frac{18}{t+1},\forall t\geq \frac{4}{9}$.
Khi đó có $g'(t)=\frac{25\sqrt{9t^2-4t}-9(9t-2)}{\sqrt{9t^2-4t}}-\frac{18}{(t+1)^2},\forall t>\frac{4}{9}$.
Vì $t>\frac{4}{9}$ nên $25\sqrt{9t^2-4t}-9(9t-2)<0$. Suy ra $g'(t)<0,\forall t>\frac{4}{9}$; hay $g$ giảm trên $(\frac{4}{9};+\infty)$.
Như vậy, (6) tương đương với $g(t)=g(\frac{1}{2})$, hay $t=\frac{1}{2}$; suy ra $x^2=\frac{1}{2}$, suy ra $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Vì $x\leq -\frac{2}{3}$ nên $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$; suy ra $y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $(x;y)=(-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}})$.