Điều kiện của hệ là |x|≥23. Kí hiệu (1) và (2) lần lượt là phương trình đầu và cuối của hệ.
Khi đó (1) tương đương với 2016x(√x2+1−x)=2016−y[√(−y)2+2+(−y)] (3).
Xét hàm số f(t)=2016t(√t2+1−t),∀t∈R.
khi đó có f′(t)=2016t(√t2+2−t)(ln2016√t2+2−1)√t2+2>0,∀t∈R. Suy ra f tằng trên R.
Như vậy, (3) tương đương với f(x)=f(−y), hay y=−x (4).
Từ (4) cho thấy, (2) tương đương với 25x2+9x√9x2−4=2+18x2x2+1 (5).
Rõ ràng (5) không có nghiệm thực khi x≥23.
Xét x≤−23. Đặt t=x2 với t≥49, thì (5) trở thành 25t−9√9t2−4t−20+18t+1=0 (6).
Xét hàm số g(t)=25t−9√9t2−4t−20+18t+1,∀t≥49.
Khi đó có g′(t)=25√9t2−4t−9(9t−2)√9t2−4t−18(t+1)2,∀t>49.
Vì t>49 nên 25√9t2−4t−9(9t−2)<0. Suy ra g′(t)<0,∀t>49; hay g giảm trên (49;+∞).
Như vậy, (6) tương đương với g(t)=g(12), hay t=12; suy ra x2=12, suy ra x=±1√2. Vì x≤−23 nên x=−1√2; suy ra y=1√2.
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=(−1√2;1√2).