ĐKXĐ : x2≥x+y+1; 2x+y≥0(∗); 5x2+3y2+3x+7y≥0
xét pt (1) có:
nếu x2=x+y+1⇒y+1=0⇔(x;y)=[(0;−1)(1;−1)
thay 2 lần lượt 2 nghiệm này vào (2) ta thấy (x;y)=(1;-1) là nghiệm của hệ.
nếu x2>x+y+1 (**) thì (1) ⇔3√x−y−1−1=y+1√x2−x−y−1−1
⇔x−y−23√(x−y−1)2+3√x−y−1+1=(x−y−2)(−x−y−1)(y+1+√x2−x−y−1)√x2−x−y−1
⇔[y=x−2(3)13√(x−y−1)2+3√x−y−1+1+x+y+1(y+1+√x2−x−y−1)√x2−x−y−1=0(4)
cộng (*) với (**) ta suy ra x2+x−1>0⇔x<−1−√52 hoặc x>−1+√52
nếu x<−1−√52⇒y≥−2x>1+√5⇒x+y+1>0 nên (4) vô nghiệm.
nếu x>−1+√52
ta giả sử x+y+1≤0⇒1+√52+y<x+y+1≤0⇒y<−1+√52⇒x−y−1>√5−1>0
⇒VT(1)≥0
VP(1)=y+1< 1−√52<0
mà VT=VP
từ đó suy ra (1) vô lý. vậy x+y+1>0
⇒(4) vô nghiệm.
thay (3) vào (2) ta được
2x−1+√3x−2=√8x2−2x−2
⇔16x4−56x3+73x2−42x+9=0
⇔(x−1)2(4x−3)2=0
⇔[x=1⇒y=−1x=34(loại)
vậy hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;-1)