$A=\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}+\left| y-2 \right|\geq \sqrt{(1-x+x+1)^{2}+(y+y)^{2}}+\left| y-2 \right|$
vậy $A\geq \sqrt{4+4y^{2}}+\left| y-2\right|$.Xét hàm số $f(y)=2\sqrt{1+y^{2}}+\left| y-2 \right|$
TH1:$y\geq 2=>f(y)\geq 2\sqrt{5}$
TH2:$y<2=>f(y)=2\sqrt{1+y^{2}}+\left| y-2\right|$
$f'(y)=\frac{2y}{\sqrt{1+y^{2}}}-1,f'(y)=0<=>y=\frac{1}{\sqrt{3}}$
từ $f(y)=>\min f(y)=f(\frac{1}{\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$ (vơi min từ âm vô cùng đến 2)
ta có $2+\sqrt{3}<2\sqrt{5}=>mìn f(y)=2+\sqrt{3}$(với min trên toàn tập R). Ta có $A\geq f(y)\geq 2+\sqrt{3}$.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=0,y=$\frac{1}{\sqrt{3}}$.Vậy $min A=2+\sqrt{3}$.