Cho các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+xy+2=3(x+y)$. Tìm GTLN của: $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$

Question

Cho các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+xy+2=3(x+y)$. Tìm GTLN của:

$P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 6/15/2016 8:52:11 AM

Cách 2 :Trước hết, chú ý điều kiện, nhận thấy giả thiết là hoàn toàn đối xứng với 2 biến

x, y

. Tiếp theo, để ý đến cái biểu thức P. Rõ ràng, P là hàm bậc nhất chia bậc nhất ..
Từ đó, mình nghĩ đến ý tưởng dùng hình học để giải quyết bài toán. Để thực hiện điều đó, điều quan trọng đầu tiên cần làm, là chuyển giả thiết về dạng quen thuộc, phương trình đường tròn. Còn cái biểu thức P kia thì đơn giản rồi, chỉ cần quy đồng chuyển vế chuyển về phương trình đường thẳng, rồi áp dụng công thức khoảng cách nữa là ok
Tuy nhiên, muốn chuyển P về dạng phương trình đường tròn, trước tiên cần phải loại bỏ ngay cái tích

x y

có trong giả thiết đã. Mà giả thiết là đối xứng cho nên việc này sẽ rất đơn giản thôi

Lời giải:

Đặt:

{\begin{cases} x + y = 2 a \\ x - y = 2 b \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} a > 0 \\ x = a + b \\ y = a - b \end{cases}

Khi đó, giả thiết trở thành:

{(a + b)}^{2} + (a + b) (a - b) + {(a - b)}^{2} + 2 = 6 a \Leftrightarrow 3 a^{2} + b^{2} + 2 = 6 a

. Và:

P = \frac{5 a + b + 1}{2 a + 6}

Do:

3 a^{2} + b^{2} + 2 = 6 a \Rightarrow b^{2} = - 3 a^{2} + 6 a - 2 = 1 - 3 {(a - 1)}^{2} \Leftrightarrow | b | = \sqrt{1 - 3 {(a - 1)}^{2}}

Từ đây suy ra:

P = \frac{5 a + b + 1}{2 a + 6} \leq \frac{5 a + | b | + 1}{2 a + 6} = \frac{5 a + 1 + \sqrt{1 - 3 {(a - 1)}^{2}}}{2 a + 6}

Đặt:

a - 1 = t

thì

t \in [\frac{- 1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}]

. Biểu thức P viêt lại dưới dạng:

P = \frac{5 (t + 1) + 1 + \sqrt{1 - 3 t^{2}}}{2 (t + 1) + 6} = \frac{5 t + 6 + \sqrt{1 - 3 t^{2}}}{2 t + 8}

Đến đây thì đơn giản rồi, xét hàm đảm bảo ra ngay. Nhưng mà nhìn cái biểu thức thấy nản quá, đạo hàm ra chắc cũng mệt. Và casio lên tiếng, sau một hồi ngồi bấm máy dò kết quả mình tìm được Max khi

t = \frac{1}{2}

. Và việc còn lại là kiểm chứng điều đó bằng thực nghiệm
Ta sẽ CM cho GTLN của P bằng 1 với

t \in [\frac{- 1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}]

.Thật vậy, ta có:

\frac{5 t + 6 + \sqrt{1 - 3 t^{2}}}{2 t + 8} \leq 1 \Leftrightarrow 2 - 3 t \geq \sqrt{1 - 3 t^{2}} \Leftrightarrow {(2 - 3 t)}^{2} \geq 1 - 3 t^{2} \Leftrightarrow 3 {(2 t - 1)}^{2} \geq 0

BĐT trên luôn đúng. Vậy ta tìm được GTLN của P bằng 1. Đẳng thức xảy ra khi

x = 2; y = 1

.

☼SunShine❤️ · Answer 2 · 6/15/2016 8:26:37 AM

Ta thấy giả thiết đã cho tương đương với

x^{2} + y^{2} + x y + 2 - 3 (x + y) = 0 \Leftrightarrow {(x + \frac{y}{2} - \frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2} y - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = 1

Đến đây dễ dàng nhận ra bóng dáng của lượng giác.
Ta đặt

x + \frac{y}{2} - \frac{3}{2} = \sin t, \frac{\sqrt{3}}{2} y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos t

\Rightarrow x = \sin t + 1 - \frac{\cos t}{\sqrt{3}}, y = 1 + \frac{2 \cos t}{\sqrt{3}}

Thay vào P ta sẽ có

P = \frac{3 \sin t + \frac{\cos t}{\sqrt{3}} + 6}{\sin t + \frac{\cos t}{\sqrt{3}} + 8}

\Leftrightarrow (P - 3) \sin t + (\frac{P}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}}) c o s t = 6 - 8 P

Để phương trình này có nghiệm thì

(P - 3)^{2} + {(\frac{P}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} \geq (6 - 8 P)^{2}

\Leftrightarrow \frac{20}{47} \leq P \leq 1

Ta có

P = 1 \Leftrightarrow 3 \sin t + \frac{\cos t}{\sqrt{3}} + 6 = \sin t + \frac{\cos t}{\sqrt{3}} + 8 \Leftrightarrow \sin t = 1 \Rightarrow \cos t = 0 \Rightarrow x = 2, y = 1

P = \frac{20}{47} \Leftrightarrow 47 (3 \sin t + \frac{\cos t}{\sqrt{3}} + 6) = 20 (\sin t + \frac{\cos t}{\sqrt{3}} + 8)

\Leftrightarrow 121 \sin t + \frac{27}{\sqrt{3}} \cos t + 122 = 0

Phương trình này chắc chắn có nghiệm do

121^{2} + {(\frac{27}{\sqrt{3}})}^{2} = 122^{2}

Vậy GTLN của P là 1. GTNN của P là

\frac{20}{47}

.

Hỏi	14-06-16 11:11 PM
Lượt xem	1669
Hoạt động	15-06-16 08:52 AM

Cho các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+xy+2=3(x+y)$. Tìm GTLN của: $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$

2 Đáp án

Lời giải:

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cho các số thực không âm thỏa mãn: $x^2+y^2+xy+2=3(x+y)$. Tìm GTLN của: $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$

2 Đáp án

Lời giải:

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan