$\ggg$ Nếu $z > \frac 12$Ta có $\frac 1{x^2+6} \ge \frac{-2x+9}{50}\Leftrightarrow (x-2)^2(2x-1) \ge0$ (luôn đúng)
Tương tự suy ra dpcm
$\ggg$ Nếu $z \le \frac 12$
Ta có $\frac 1{x^2+6} \ge \frac{-2x+11}{75}\Leftrightarrow (x-3)^2(2x+1) \ge0$ (luôn đúng)
Tương tự cho biến y, suy ra
$P \ge \frac{-2(x+y)+22}{75}+\frac{1}{z^2+6}=\frac{z+10}{75}+\frac{1}{z^2+6}$
ta cần chứng minh $\frac{z+10}{75}+\frac{1}{z^2+6} \ge \frac 3{10}\Leftrightarrow \frac{z}{75}+\frac{1}{z^2+6} \ge \frac 16$
$\Leftrightarrow \frac{z}{75}+\bigg(\frac{1}{z^2+6}-\frac 16 \bigg) \ge0\Leftrightarrow z\bigg(\frac{1}{25}-\frac{z}{2(z^2+6)} \bigg) \ge0\Leftrightarrow z(2z^2-25z+12) \ge0\Leftrightarrow z\left(z-\frac 12\right)(z-12) \ge0 (ok)$
Vậy bdt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$ hoặc $x=y=3,z=0$