Cộng 3 cho 2 vếbdt(T)⇔(x+y+z)(1x+y+1y+z+1z+x)≥13528(1)
Chuẩn hóa x+y+z=15
Khi đó từ gt ⇔7(x+y+z)2=25(xy+yz+zx)⇔{xy+yz+zx=63x2+y2+z2=99
(1)⇔1x+y+1y+z+1z+x≥928
⇔∑(y+z)(z+x)(x+y)(y+z)(z+x)≥928
⇔(x2+y2+z2)+3(xy+yz+zx)(x+y+z)(xy+yz+zx)−xyz≥928
⇔xyz≥49
Giả sử z=max{x,y,z}, khi đó z≥5
Ta có xy=(x+y)2−(x2+y2)2=(15−z)2−(99−z2)2=z2−15z+63
Ta cần chứng minh (z2−15z+63).z≥49⇔(z−7)2(z−1)≥0 (luôn đúng)
Đẳng thức xảy ta ⇔7x=7y=z và các hoán vị
~~~~~~~~~~~
bdt(P) chứng minh tương tự, đẳng thức xảy ra ⇔a=b=3cvà các hoán vị