Nhận thấy 3b−5c+7d chỉ có thể là số lẻ⇒2alẻ⇔a=0
Phương trình trở thành 3b+7d=5c+1(∗)
Với c=0 thì b=d=0 tương tự xét với b=0,d=0
Với b.c.d≠0
Bằng pp quy nạp dễ chứng minh 7^d \equiv 1(\mod3)
\Rightarrow 7^d+3^b \equiv 1(\mod{3}) \quad (1)
Ta lại có \left[ \begin{array}{l} 5^c \equiv 1(\mod 3)\\ 5^c \equiv 2(\mod 3) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 5^c+1 \equiv 2 (\mod 3)\\ 5^c+1 \equiv0 (\mod3) \end{array} \right. \quad (2)
Từ (1),(2)\Rightarrow (*) vô nghiệm với b.c.d \ne0
Vậy ta có nghiệm duy nhất a=b=c=d=0