Câu này thì sao đây...???

Question

Cho các số thực dương a,b.Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn:

$\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geq \frac{16+4k}{(a+b)^{3}}$

Confusion · Answer 1 · 6/3/2016 9:41:11 AM

Cái này ý tưởng cx hơi giống cách

$1$ ( cách xanh lá ý ), chỉ là biến đổi khác :((

Ta có:

$......\Leftrightarrow \frac{k}{a^3+b^3}-\frac{4k}{(a+b)^3}+\frac{1}{a^3}-\frac{8}{(a+b)^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{8}{(a+b)^3}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{a-b}{(a+b)^3}.(\frac{7b^2+4ab+a^2}{b^3}-\frac{7a^2+4ab+b^2}{a^2})-\frac{3k(a-b)^2a+b)}{(a^3+b^3)(a+b)^2}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(a^4+5a^3b+12a^2b^2+5ab^3+b^4)}{a^3b^3}-\frac{3k(a-b)^2}{a^2-ab+b^2}\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2$ [

$(a^4+5a^3b+12a^2b^2+5ab^3+b^4)(a^2-ab+b^2)-3ka^3b^3]$

$\geq 0$

$\Rightarrow$ đỏ

$\geq 0.(*)$

Cho

$a=b$ thì

$(*)$ trở thành .........

$\Leftrightarrow k\leq 8.$

Vậy ta c/m

$k=8$ là hằng số tốt nhứt thỏa mãn.

Thật vậy, với

$k=8$ thì

$(*)$ có dạng:

$(a^4+5a^3b..............)-24a^3b^3\geq 0$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} a^4+b^4\geq 2a^2b^2\\ a^2+b^2\geq 2ab\end{array} \right.$

$\rightarrow a^4+....+b^4=a^4+b^4+5ab(a^2+b^2)+12a^2b^2\geq 24a^2b^2$

mà

$a^2-ab+b^2\geq ab$

$\Rightarrow .............\Rightarrow (*)$ lđ!

$\Rightarrow ....................$

Note:

tran85295 · Answer 2 · 6/2/2016 1:47:21 AM

Bình chọn tăng 11 Bình chọn giảm

$bdt\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}-\frac{4}{a^3+b^3}\ge \frac{16}{(a+b)^3}-\frac{4}{a^3+b^3}+\frac{4k}{(a+b)^3}-\frac{k}{a^3+b^3}$

$\Leftrightarrow \frac{(a^3+b^3)^2-4a^3b^3}{(a^3+b^3)a^3b^3} \ge (k+4)\left(\frac{4(a^3+b^3)-(a+b)^3}{(a+b)^3(a^3+b^3)} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{(a^3-b)^3}{a^3b^3} \ge(k+4)\left(\frac{3(a+b)(a-b)^2}{(a+b)^3} \right)$

$\Leftrightarrow (a-b)^2\left[ \frac{(a^2+ab+b^2)^2}{a^3b^3} -\frac{3(k+4)}{(a+b)^2}\right] \ge0$

$\Leftrightarrow \frac{(a^2+ab+b^2)^2(a+b)^2}{a^3b^3} \ge 3(k+4)$ (*)

Đk cần : cho

$a=b$ thì

$VT=36\Leftrightarrow k\le8$

Đk đủ, ta sẽ cm

$k=8$ là hằng số tốt nhất

Thật vậy (*)

$\Leftrightarrow [(a^2+ab+b^2)(a+b)]^2 \ge 36a^3b^3$ (**)

Giả sử

$a\ge b$ .Đặt

$a=xb(x \ge 1)$

(**)

$\Leftrightarrow [(x^2+x+1)(x+1)]^2 \ge 36x^3$

$VT \ge(3x)^2.4x^2 \ge VP$ (ok)
Vậy

$k=8$ là số cần tìm

lịch sử

Sửa 02-06-16 01:47 AM

tran85295
21 2

10M 559K

Trả lời 02-06-16 01:24 AM

tran85295
21 2

10M 559K

giỏi quá,thanks a nha – Ngọc 02-06-16 06:26 AM

chỗ dòng 2 từ dưới lên xem lại xem – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 02-06-16 01:35 AM

k đọc mấy bài kiểu này nh, nên k hiểu lắm :v cả chỗ *là a^3.b^3 ghi thành cộng thì phải – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 02-06-16 01:30 AM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 3 · 6/2/2016 12:45:52 AM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

BĐT đồng bậc, nghĩ đến phương pháp đẳng cấp

Đặt

$\frac ab=x>0$

hay

$a=xb$

BĐT

$\Leftrightarrow \frac k{b^3(x^3+1)}+\frac1{x^3b^3}+\frac1{b^3}\ge\frac{16+4k}{b^3(x+1)^3}$

Khử b, chuyển k sang 1 bên

$\Leftrightarrow \frac{-3k(x-1)^2}{(x+1)^3(x^2-x+1)}\ge\frac{-(x-1)^2(x^4+5x^3+12x^2+5x+1)}{x^3(x+1)^3}$

$\Leftrightarrow 3k\le\frac{(x^4+5x^3+12x^2+5x+1)(x^2-x+1)}{x^3}=(x^2+5x+12+\frac5x+\frac1{x^2})(x-1+\frac1x)$

Đặt

$x+\frac1x=t\ge2$

$\Rightarrow 3k\le(t^2-2+5t+12)(t-1)=(t^2+5t+10)(t-1)=(t-2)(t^2+6t+17)+24\le24$

Vậy

$k\le8$

Trả lời 02-06-16 12:45 AM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

quên mất mk chưa vote :)) =)) – Confusion 03-06-16 08:41 AM

ukm.....gõ xong chắc chị gãy tay :(( – Confusion 03-06-16 08:41 AM

bài này dùng dài,bt đâu bài khác dùng sẽ ngắn – Ngọc 02-06-16 11:14 PM

vs e càng nhiều càng ít,chị cứ đăng đi – Ngọc 02-06-16 11:14 PM

ak còn cách nữa mak nó hơi rài :)). Ngọc có mún xem hem? – Confusion 02-06-16 08:48 PM

@@! ý tưởng lớn gặp nhau – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 02-06-16 02:35 PM

bỏ đi, chữ xấu quá viết lộn 3 thành 2 :((! tức chết mất >"< – Confusion 02-06-16 01:43 PM

ế.tui cx lm kiểu này mak nó ra 12???? ==" – Confusion 02-06-16 11:45 AM

hay hay... – Ngọc 02-06-16 06:28 AM

Hỏi	01-06-16 11:41 PM
Lượt xem	2241
Hoạt động	03-06-16 09:41 AM

Câu này thì sao đây...???

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Câu này thì sao đây...???

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan