Giả thiết \Leftrightarrow c-a-b=1Có
\sqrt{(a+1)(b+1)}\le \frac{a+b+2}2=\frac{c+1}2Đồng bậc ở mẫu các phân thức bằng cách nhân
(c-a-b) vào biến ở bậc 1
\Rightarrow P\ge\frac{a^3}{(c-a)(a+b)}+\frac{b^3}{(c-b)(a+b)}+\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}+\frac{28}{(c+1)^2}
Để ý điểm rơi a=b=\frac13;c=\frac53 để cauchy và cân bằng hệ số
có \frac{a^3}{(c-a)(a+b)}+\frac{c-a}{32}+\frac{a+b}{16}\ge\frac38a
\frac{b^3}{(c-b)(a+b)}+\frac{c-b}{32}+\frac{a+b}{16}\ge\frac38b
\frac{c^3}{(c-a)(c-b)}+\frac{125}{64}(c-a)+\frac{125}{64}(c-b)\ge\frac{75}{16}c
\frac{28}{(c+1)^2}+\frac{189(c+1)}{128}+\frac{189(c+1)}{128}\ge\frac{189}{16}
Cộng, cộng và cộng
\Rightarrow P\ge\frac{189}{16}-\frac{189}{64}-\frac{143(c-a-b)}{64}=\frac{53}8
Dấu bằng xảy ra tại a=b=\frac13;c=\frac53