Bất đẳng thức Hình học :D

Question

Cho

$x,y,z$ là các số thực thỏa mãn

$\left\{ \begin{array}{l} x+y;y+z;z+x\geq 0\\ xy+yz+zx\geq 0\end{array} \right..$

Gọi

$a,b,c$ là 3 cạnh và

$S$ là diện tích

$\Delta ABC.$ Khi đó, ta có:

$xa^2+yb^2+cz^2\geq 4\sqrt{xy+yz+zx}.S$

Xem thêm:

Mời mọi người tham gia cuộc thi do các Admin tổ chức CLICK!

tran85295 · Answer 1 · 6/1/2016 3:23:58 PM

Theo công thức Hê-rông

$S=\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{16}} \overset{(1)}{\le} \tfrac{\sqrt{(a+b+c)abc}}{4}\overset{(2)}{\le} \tfrac{ab+bc+ca}{4\sqrt 3}$

Nên ta chỉ cần chứng minh

$xa^2+yb^2+zc^2 \ge \sqrt{xy+yz+zx}.\frac{ab+bc+ca}{\sqrt3}$

$\Leftrightarrow 3(xa^2+yb^2+zc^2) \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}.(ab+bc+ca)$

Ko mất tính tổng quát giả sử

$x \ge y \ge z;a \ge b \ge c$

Theo bdt Chebysev:

$VT \ge (x+y+z)(a^2+b^2+c^2) \ge VP$

Vậy bđt đc chứng minh, đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z \\ a=b=c \end{cases}$

~~~~~~~~~~~~~~~

Sửa 01-06-16 03:23 PM

tran85295
21 2

10M 559K

Trả lời 01-06-16 12:01 AM

tran85295
21 2

10M 559K

P/s: có 1 sự đãng trí ko hề nhẹ ==" – Confusion 01-06-16 02:01 PM

nhưng mak cái của tui nó loằng ngoằng hơn của ông :D – Confusion 01-06-16 02:00 PM

hay nhưng mak muốn dính xíu đế lượng giác :D, cái đẳng thức cx ra khác nữa – Confusion 01-06-16 02:00 PM

1 Đáp án