1)Xét tứ giác nội tiếp HEKC có \widehat{HKE}=\widehat{HCE}Tương tự \widehat{HKD}=\widehat{HBD}
Mà \widehat{HBD}=\widehat{HCE} do DECB là tứ giác nội tiếp
\Rightarrow \widehat{HKE}=\widehat{HKD}(1)
~~~~~~~
Gọi hình chiếu của D trên BC là D', vì BC là đường kính nên D' thuộc đtròn đường kính BC
Gọi H' là giao điểm của HK và đường tròn thuộc cung lớn DE
Dễ thấy H là trực tâm của \triangle ABC\Rightarrow HH' \perp BC
Mà D' đối xứng với D qua BC
\Rightarrow \widehat{HKD}=\widehat{H'KD}' (2)
Từ (1) & (2)\Rightarrow \widehat{HKD}=\widehat{H'KD'}
\Rightarrow D',K,E thẳng hàng
~~~~~~~~~
Lại có KD+KE=KD'+KE=D'E
Mà hiển nhiên D'E \le BC do BC là đường kính có độ dài lớn nhất trong tất cả dây cung
Vậy ta có dpcm, đẳng thức xra khi \triangle ABC cân tại A
2)
Áp dụng bđt cosi cho các số dương
\left.\begin{matrix} \dfrac{a^2}{b-1}+4(b-1) \ge 4a\\ \dfrac{b^2}{c-1}+4(c-1) \ge 4b\\ \dfrac{c^2}{a-1}+4(a-1) \ge 4c\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1} \ge 12