Xét tứ giác nội tiếp HEKC có ^HKE=^HCETương tự ^HKD=^HBDMà ^HBD=^HCE do DECB là tứ giác nội tiếp⇒^HKE=^HKD(1)~~~~~~~Gọi hình chiếu của D trên BC là D′, vì BC là đường kính nên D′ thuộc đtròn đường kính BCGọi H′ là giao điểm của HK và đường tròn thuộc cung lớn DEDễ thấy H là trực tâm của △ABC⇒HH′⊥BCMà D′ đối xứng với D qua BC⇒^HKD=^H′KD′ (2)Từ (1) & (2)⇒^HKD=^H′KD′⇒D′,K,E thẳng hàng~~~~~~~~~Lại có KD+KE=KD′+KE=D′EMà hiển nhiên D′E≤BC do BC là đường kính có độ dài lớn nhất trong tất cả dây cungVậy ta có dpcm, đẳng thức xra khi △ABC cân tại A
1)Xét tứ giác nội tiếp
HEKC có
^HKE=^HCETương tự
^HKD=^HBDMà
^HBD=^HCE do
DECB là tứ giác nội tiếp
⇒^HKE=^HKD(1)~~~~~~~Gọi hình chiếu của
D trên
BC là
D′, vì
BC là đường kính nên
D′ thuộc đtròn đường kính
BCGọi
H′ là giao điểm của
HK và đường tròn thuộc cung lớn
DEDễ thấy
H là trực tâm của
△ABC⇒HH′⊥BCMà
D′ đối xứng với
D qua
BC⇒^HKD=^H′KD′ (2)Từ
(1) &
(2)⇒^HKD=^H′KD′⇒D′,K,E thẳng hàng~~~~~~~~~Lại có
KD+KE=KD′+KE=D′EMà hiển nhiên
D′E≤BC do
BC là đường kính có độ dài lớn nhất trong tất cả dây cungVậy ta có dpcm, đẳng thức xra khi
△ABC cân tại
A2)Áp dụng bđt cosi cho các số dươnga2b−1+4(b−1)≥4ab2c−1+4(c−1)≥4bc2a−1+4(a−1)≥4c }⇒a2b−1+b2c−1+c2a−1≥12