1)Xét tứ giác nội tiếp $HEKC$ có $\widehat{HKE}=\widehat{HCE}$Tương tự $\widehat{HKD}=\widehat{HBD}$
Mà $\widehat{HBD}=\widehat{HCE}$ do $DECB$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{HKE}=\widehat{HKD}$(1)
~~~~~~~
Gọi hình chiếu của $D$ trên $BC$ là $D'$, vì $BC$ là đường kính nên $D'$ thuộc đtròn đường kính $BC$
Gọi $H'$ là giao điểm của $HK$ và đường tròn thuộc cung lớn $DE$
Dễ thấy $H$ là trực tâm của $\triangle ABC\Rightarrow HH' \perp BC$
Mà $D'$ đối xứng với $D$ qua $BC$
$\Rightarrow \widehat{HKD}=\widehat{H'KD}'$ (2)
Từ $(1)$ & $(2)\Rightarrow \widehat{HKD}=\widehat{H'KD'}$
$\Rightarrow D',K,E$ thẳng hàng
~~~~~~~~~
Lại có $KD+KE=KD'+KE=D'E$
Mà hiển nhiên $D'E \le BC$ do $BC$ là đường kính có độ dài lớn nhất trong tất cả dây cung
Vậy ta có dpcm, đẳng thức xra khi $\triangle ABC$ cân tại $A$
2)
Áp dụng bđt cosi cho các số dương
$\left.\begin{matrix} \dfrac{a^2}{b-1}+4(b-1) \ge 4a\\ \dfrac{b^2}{c-1}+4(c-1) \ge 4b\\ \dfrac{c^2}{a-1}+4(a-1) \ge 4c\ \end{matrix}\right\}\Rightarrow \frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1} \ge 12$