BĐT số 6

Question

Cho các số thực dương

$x, y, z$ thỏa mãn

$\sqrt{3x^2+3y^2-4xy}+\sqrt{3y^2+3z^2-4yz}+\sqrt{3z^2+3x^2-4zx} \le 3\sqrt{2}$ .

Tìm min:

$T=\frac{1}{\sqrt{8^x+1}}\frac{1}{\sqrt{8^y+1}}+\frac{1}{\sqrt{8^z+1}}$

Confusion · Answer 1 · 6/6/2016 1:12:42 PM

Do BĐT trên đ/x nên ta chọ điểm rơi tại

$x=y=z=1$

$\rightarrow$ Ta c/m

$T\geq 1$

Có:

$\sqrt{3x^2-4xy+3y^2}\geq \frac{x+y}{\sqrt{2}}$

Dễ dàng c/m đc điều này nhờ biến đổi tương đương :D.

Tương tự ta suy ra:

$x+y+z\leq 3.$

$\rightarrow 2^x.2^y.2^z$

$=2^{x+y+z}$

$\leq 8$

Đặt

$a=2^x; b=....;c=.......$

$abc\leq 8$

Theo

$AM-GM,$ ta có;

$\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(1-a+m^2)}\leq \frac{a^2+2}{2}$

Tương tự:

.........................

..........................

r cộng lại, đc:

$VT\geq \Sigma \frac{2}{a^2+2}$

$\rightarrow$ Ta cần c/m:

$\Sigma \frac{2}{a^2+2}\geq 1$

hay:

$\Sigma \frac{\frac{2}{a^2}}{1+\frac{2}{m^2}}\geq 1$

Đặt:

$t=\frac{1}{a^2};u=......;v=.......$

$\rightarrow tuv\geq \frac{1}{16}$

Ta cần c/m:

$\Sigma \frac{2t}{1+2t}\geq 1$

@@, khai triển vad rút gọn đc:P

$4(\Sigma tv)+16utv\geq 1$

Điều này lđ do theo

$AM-GM,$ ta có:

$VT\geq 12\sqrt[3]{(tuv)^2}+16utv\geq .........=1$

$\rightarrow ............$ (đpcm)

Đẳng thức khi

$x=y=z=1./$

Hỏi	16-05-16 07:51 AM
Lượt xem	1022
Hoạt động	06-06-16 01:12 PM

BĐT số 6

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BĐT số 6

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan