Đặt y=az;z=bx⇒a;b∈[14;1].Khi đó: P=12+3a+aa+b+bb+1.
Xét hàm số: f(a)=12+3a+aa+b;f′(a)=−3(2+3a)2+b(a+b)2.
Xét b(2+3a)2−3(a+b)2=9a2b+6ab+4b−3a2−3b2≥15a2b+4b−3a2−3b2=3a2(5b−1)+b(4−3b)>0
Nên f(a) là hàm đồng biến trên [14;1]⇒f(a)≥f(14)=411+11+4b
Do đó: P≥411+11+4b+bb+1=g(b)
Ta có g′(b)=−4(1+4b)2+1(b+1)2⇒g′(b)=0→b=12
Tuqf đó suy ra g(b)≥g(12)=3433 hay P≥3433