Quay lại đáp án

Đặt $y=az;z=bx\Rightarrow a;b\in [\frac{1}{4};1].$Khi đó: $P=\frac{1}{2+3a}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+1}.$Xét hàm số: $f(a)=\frac{1}{2+3a}+\frac{a}{a+b}; f'(a)=-\frac{3}{(2+3a)^2}+\frac{b}{(a+b)^2}.$Xét $b(2+3a)^2-3(a+b)^2=9a^2b+6ab+4b-3a^2-3b^2\geq 15a^2b+4b-3a^2-3b^2=3a^2(5b-1)+b(4-3b)>0$Nên $f(a)$ là hàm đồng biến trên $[\frac{1}{4};1]\Rightarrow f(a)\geq f(\frac{1}{4})=\frac{4}{11}+\frac{1}{1+4b}$Do đó: $P\geq \frac{4}{11}+\frac{1}{1+4b}+\frac{b}{b+1}=g(b)$Ta có $g'(b)=\frac{-4}{(1+4b)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\Rightarrow g'(b)=0\rightarrow b=\frac{1}{2}$Tuqf đó suy ra $g(b)\geq g(\frac{1}{2})=\frac{34}{33}$ hay $P\geq \frac{34}{33}$

Đặt $P(z)=.........(với z\in [\frac{x}{4};y])$Ta có: $P'(z)=\frac{(x-y)(z^2-xy)}{(y+z)^2(x+z)^2}$+) Nếu $x=y$ thì $P=\frac{6}{5}.$+) Nếu $x>y$ thì: $\left\{ \begin{array}{l} z^2\leq y^2\leq xy\\ P'(z)<0 \end{array} \right.\Rightarrow P(z)$ là hàm nghịch biến $P(z)\geq P(y)=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+y}+\frac{y}{x+y}=\frac{x}{2x+3y}+\frac{1}{2}+\frac{y}{x+y}$$\rightarrow $ Bài toán trở thành: Tìm min $Q=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{x+y}+\frac{1}{2}.$Đặt $t=\frac{x}{y}\Rightarrow t\in [1;4].$ Khi đó: $Q=Q(t)=\frac{t}{2t+3}+\frac{1}{t+1}+\frac{1}{2} với t\in [1;4]$$Q'(t)=\frac{-t^2-6t-6}{(2t+3)^2(t+1)^2}<0\Rightarrow Q(t)$ là hàm nghịch biến, suy ra $Q(t)\geq Q(4).$$\Rightarrow min Q=\frac{117}{110}$ tại $(a;b;c)=(4;1;1)$