tìm $Min$ P= $2x^{4}+32y^{4}+4x^{2}y^{2}-2x^{2}-8y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{4y^{2}}-5$

Question

cho 2 số x,y tm

$\begin{cases}x>0>y \\ \frac{x^{2}}{2y}-3x+6y-\frac{4y^{2}}{x}-4\leq \frac{6}{xy} \end{cases}$

tìm

$Min$

P=

$2x^{4}+32y^{4}+4x^{2}y^{2}-2x^{2}-8y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{4y^{2}}-5$

Bloody's Rose · Answer 1 · 5/24/2016 8:42:02 PM

Cách này hơi dài.ai có cách khác up lên cho mk nha...

gt

$\Rightarrow x^{3}-6x^{2}y+12xy^{2}-8y^{3}-8xy\geq12\Leftrightarrow (x-2y)^{3}-8xy\geq12$ (1)

Đặt

$2y=-a,a>0$

(1)tt:

$12\leq (x+a)^{3}+4xa\leq (x+a)^{3}+(x+a)^{2}\Rightarrow x+a\geq2$

Ta có:

$P=2(x^{4}+a^{4})+x^{2}a^{2}-2(x^{2}+a^{2})+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{a^{2}})-5$

$=2(x^{2}+a^{2})^{2}-2(x^{2}+a^{2})-3x^{2}a^{2}+(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{a^{2}})-5$

$\geq 2(x^{2}+a^{2})^{2}-2(x^{2}+a^{2})-\frac{3}{4}(x^{2}+a^{2})^{2}+\frac{4}{x^{2}+a^{2}}-5$

$=\frac{5}{4}(x^{2}+a^{2})^{2}-2(x^{2}+a^{2})+\frac{4}{x^{2}+a^{2}}$

Đặt

$t=x^{2}+a^{2},t\geq2$

$\Rightarrow P\geq \frac{5}{4}t^{2}-2t+\frac{4}{t}-5$

Ta sẽ cm

$Min P=-2\Leftrightarrow \frac{5}{4}t^{2}-2t+\frac{4}{t}-5\geq-2$

$\Leftrightarrow(t-2)(5t^{2}+2t-8)\geq0$ (luôn đúng với mọi

$t\geq2$ )

Dấu''='' xra

$\Leftrightarrow t=2\Leftrightarrow (x;y)=(1;\frac{-1}{2})$

1 Đáp án