Ta sẽ chứng minh : $\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1} \ge \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}$(*)(*)$\Leftrightarrow \frac{x^2+x+y^2+y}{xy+x+y+1} \ge \frac{2\sqrt{xy}}{\sqrt {xy}+1}$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2).\sqrt{xy}+(x+y)\sqrt{xy}+(x^2+y^2+x+y) \ge 2\sqrt{xy}(x+y)+(xy+1)2\sqrt{xy}$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2)\sqrt{xy}+(x^2+y^2+x+y) \ge\sqrt{xy}(x+y)+(xy+1)2\sqrt{xy}$
Bất đẳng thức cuối đúng do có đánh giá sau
$(x^2+y^2)\sqrt{xy} \ge2xy\sqrt{xy}$
$x^2+y^2 \ge \sqrt{xy}(x+y)$
$x+y \ge 2\sqrt{xy}$
~~~~~~~~~~~~~
$\Rightarrow P \ge \frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{xy}{x+y}-(x^2+y^2)$
$=\frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{xy}{3-xy}-(x+y)^2+2xy$
$=\frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{xy}{3-xy}-(3-xy)^2+2xy$
$=\frac{6\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}+1}+\frac{xy}{3-xy}-x^2y^2+8xy-9$ $ \qquad (0<xy \le 1)$
Tới đây chị thử khảo sát hàm 1 biến xem :D