T nghĩ chỉ là a,b,c k âm thì đúng hơn
cách 1Ta thấy trong 3 số $a,b,c$ không tồn tại đồng thời 2 số bằng 0
Trường hợp 1
tồn tại 1 trong 3 số bằng 0
giả sử là $c=0$
Suy ra cần CM $\sqrt{\frac ab}+\sqrt{\frac ba}\ge 2$ luôn đúng
Dấu bằng khi $a=b;c=0$ và hoán vị
Trường hợp 2
$a;b;c>0$
Ta có $ \sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{a+b+c}{2a}$ (AM-GM)
$\Rightarrow \sqrt{\frac a{b+c}}\ge2\frac a{a+b+c}$
Cộng lại ta có đpcm
Dấu bằng khi \begin{cases}a=b+c \\b=c+a\\ c=a+b \end{cases}
mà $a;b;c>0$ suy ra vô lí
Cách 2có $a+(b+c)\ge2\sqrt{a(b+c)}\Leftrightarrow \frac{\sqrt a}{{\sqrt{b+c}}}\ge2\frac a{a+b+c}$ (nhân cả 2 vế với $\frac{\sqrt a}{(a+b+c)\sqrt{b+c}}$)
để ý dấu bằng có thể xảy ra ở bước dùng AM-GM hoặc bước nhân cả 2 vế với $\sqrt a$ do a k âm
tương tự cộng lại ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra tại $a=b;c=0 $ và các hoán vị