Với $n=1$, 2 vế bằng nhau $\Rightarrow$ bdt đúngVới $n=2$, $bdt\Leftrightarrow \sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2} \ge \sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}$(*)
$\Leftrightarrow 2\sqrt{(x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2)} \ge 2(x_1x_2+y_1y_2)$
$\Leftrightarrow (x_1^2+y_1^2)(x_2^2+y_2^2) \ge(x_1x_2+y_2y_2)^2$ (đúng theo Cauchy-Schwarz)
Giả sử bdt đúng tới $n=k$
$\sqrt{x_1^2+y_1^2}+\sqrt{x_2^2+y_2^2}+...+\sqrt{x_k^2+y_k^2} \ge \sqrt{(x_1+x_2+..+x_k)^2+(y_1+y_2+...+y_k)^2}$(**)
Ta sẽ chứng minh nó đúng với $n=k+1$. Tức là:
$\sqrt{x_1^2+y_1^2}+...+\sqrt{x_k^2+y_k^2}+\sqrt{x_{k+1}^2+y_{k+1}^2}\ge \sqrt{(x_1+..+x_{k+1})^2+(y_1+...+y_k+y_{k+1})^2}$
Áp dụng (**) ta có
$VT \ge \sqrt{(x_1+x_2+..+x_k)^2+(y_1+y_2+...+y_k)^2}+\sqrt{x^2_{k+1}+y_{k+1}^2}$
Và nó $ \ge VP$ sau khi áp dụng (*)
Vậy bdt đc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 2 bộ số thực đã cho tỉ lệ với nhau