Dấu $"="$ xảy ra khi nào?

Question

Gọi $x, y, z$ là khoảng cách từ điểm $M$ thuộc miền trong $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn đến các cạnh $BC, CA, AB$. CMR:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2R}}$

$a, b, c$ là độ dài các cạnh của $\Delta$, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dấu $"="$ xảy ra khi nào?

http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113529/su-dung-bdt-co-dien-de-chung-minh-bdt-luong-giac

@_@ *Mèo9119* @_@ · Answer 1 · 5/26/2016 12:31:04 PM

Ta có:

\begin{matrix} = S_{M A B} + S_{M B C} + S_{M C A} \\ \Leftrightarrow \frac{S_{M A B}}{S_{A B C}} + \frac{S_{M B C}}{S_{A B C}} + \frac{S_{M C A}}{S_{A B C}} = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{z}{h_{c}} + \frac{y}{h_{b}} + \frac{x}{h_{a}} = 1 \end{matrix}

\Rightarrow h_{a} + h_{b} + h_{c} = (h_{a} + h_{b} + h_{c}) (\frac{z}{h_{c}} + \frac{y}{h_{b}} + \frac{x}{h_{a}})

Theo Bunhiacốpxki thì:

\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} = \sqrt{h_{a}} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{h_{a}}} + \sqrt{h_{b}} \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{h_{b}}} + \sqrt{h_{c}} \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{h_{c}}} ⩽ \sqrt{(h_{a} + h_{b} + h_{c}) (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{h_{a}}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{h_{b}}} + \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{h_{c}}})} = \sqrt{h_{a} + h_{b} + h_{c}}

mà

S = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} a b \sin C \Rightarrow h_{a} = b \sin C

,

h_{b} = c \sin A

,

h_{c} = a \sin B

\Rightarrow \sqrt{h_{a} + h_{b} + h_{c}} = \sqrt{(a \sin B + b \sin C + c \sin A)} = \sqrt{\frac{a b}{2 R} + \frac{b c}{2 R} + \frac{c a}{2 R}}

\Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} ⩽ \sqrt{\frac{a b}{2 R} + \frac{b c}{2 R} + \frac{c a}{2 R}} ⩽ \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 R}} \Rightarrow

Đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

{\begin{matrix} = b = c \\ x = y = z \end{matrix} \Leftrightarrow Δ A B C

đều và M là tâm đường tròn nội tiếp

Δ A B C

.

1 Đáp án