Nếu vấn đề là làm thế nào để có thể chọn được điểm rơi phù hợp thì e thử nói như thế này xem có được ko nhá:Đánh giá theo kiểu $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq k(x+y+z)$ thì ta sẽ dùng BĐT Cauchy. Nhưng nếu dùng bừa thì sẽ đi vào bế tắc! Ví dụ:
$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq x+\frac{x+y}{2}+\frac{x+y+z}{3}=\frac{11x}{6}+\frac{5y}{6}+\frac{z}{3}\rightarrow $ pó tay...
Vậy chúng ta cần chọn những hằng số $a,b,c$ để vc sd BĐT đc thuận lợi!
Ta có biến đổi:
$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{xy}=\sqrt{ax.\frac{y}{a}}\leq\frac{1}{2}(ax+\frac{y}{a}) \\ \sqrt[3]{xyz}=\sqrt[3]{(bx)(cy)\frac{z}{bc}}\leq \frac{1}{3}(bx+cy+\frac{z}{bc}) \end{array} \right.$
$\rightarrow VT\leq (1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3})x+(\frac{1}{2a}+\frac{c}{3})y+\frac{1}{3bc}z$
Ta phải có:$1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}=\frac{1}{3bc}.$
Đồng thời khi dấu đẳng thức xảy ra ở các BĐT trên:
$\left\{ \begin{array}{l} ax=\frac{y}{a}\\ bx=cy=\frac{z}{bc} \end{array} \right.\Rightarrow \frac{y}{x}=a^2=\frac{b}{c}.$
Vậy ta giải hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} 1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}(2)=\frac{1}{3bc}\\ a^2=\frac{b}{c} \end{array} \right.$ với $a,b,c>0.$
Ta có: $a^2=\frac{b}{c}\Leftrightarrow b=a^2c$ Thế vô $(2)$:
$\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}=\frac{1}{3a^2c^2}\Leftrightarrow 2c^3a^2+3c^2a-2=0$ phương trình ẩn $a$ này có tích $AC<0$ nên có $2$ nghiệm trái dấu. ($AC$ ở đây là hệ số)
$\Leftrightarrow a=\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2}$ ( do $a>0$ ).
Lại có: $1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}\Leftrightarrow b=\frac{3}{2a}+c-\frac{3a}{2}-3$
Thế vô $a^2=\frac{b}{c}$ được:
$(\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2})^2=\frac{\frac{3}{\frac{2.(-3c+\sqrt{9c^2+16c})}{4c^2}+c-\frac{3}{2}.\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2}-3}}{c}$
$\rightarrow c=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{4}.$
Đến đây chắc ok r~~!!