Bài cũ- Cho $x,y,z>0$ .Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq k(x+y+z)$

Question

Cho

$x,y,z>0$ .Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq k(x+y+z)$

mình muốn hỏi cách tìm k như thế nào bạn tasfuskau? bạn có biết ko, bảo mình với :)
http://diendantoanhoc.net/topic/81059-xsqrtxysqrt3xyz-leq-frac43/1 bài tương tự

Confusion · Answer 1 · 5/16/2016 2:51:51 PM

Nếu vấn đề là làm thế nào để có thể chọn được điểm rơi phù hợp thì e thử nói như thế này xem có được ko nhá:

Đánh giá theo kiểu

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq k(x+y+z)$ thì ta sẽ dùng BĐT Cauchy. Nhưng nếu dùng bừa thì sẽ đi vào bế tắc! Ví dụ:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq x+\frac{x+y}{2}+\frac{x+y+z}{3}=\frac{11x}{6}+\frac{5y}{6}+\frac{z}{3}\rightarrow$ pó tay...

Vậy chúng ta cần chọn những hằng số

$a,b,c$ để vc sd BĐT đc thuận lợi!

Ta có biến đổi:

$\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{xy}=\sqrt{ax.\frac{y}{a}}\leq\frac{1}{2}(ax+\frac{y}{a}) \\ \sqrt[3]{xyz}=\sqrt[3]{(bx)(cy)\frac{z}{bc}}\leq \frac{1}{3}(bx+cy+\frac{z}{bc}) \end{array} \right.$

$\rightarrow VT\leq (1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3})x+(\frac{1}{2a}+\frac{c}{3})y+\frac{1}{3bc}z$

Ta phải có:

$1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}=\frac{1}{3bc}.$

Đồng thời khi dấu đẳng thức xảy ra ở các BĐT trên:

$\left\{ \begin{array}{l} ax=\frac{y}{a}\\ bx=cy=\frac{z}{bc} \end{array} \right.\Rightarrow \frac{y}{x}=a^2=\frac{b}{c}.$

Vậy ta giải hệ:

$\left\{ \begin{array}{l} 1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}(2)=\frac{1}{3bc}\\ a^2=\frac{b}{c} \end{array} \right.$ với

$a,b,c>0.$

Ta có:

$a^2=\frac{b}{c}\Leftrightarrow b=a^2c$ Thế vô

$(2)$ :

$\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}=\frac{1}{3a^2c^2}\Leftrightarrow 2c^3a^2+3c^2a-2=0$ phương trình ẩn

$a$ này có tích

$AC<0$ nên có

$2$ nghiệm trái dấu. (

$AC$ ở đây là hệ số)

$\Leftrightarrow a=\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2}$ ( do

$a>0$ ).

Lại có:

$1+\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{1}{2a}+\frac{c}{3}\Leftrightarrow b=\frac{3}{2a}+c-\frac{3a}{2}-3$

Thế vô

$a^2=\frac{b}{c}$ được:

$(\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2})^2=\frac{\frac{3}{\frac{2.(-3c+\sqrt{9c^2+16c})}{4c^2}+c-\frac{3}{2}.\frac{-3c+\sqrt{9c^2+16c}}{4c^2}-3}}{c}$

$\rightarrow c=1\Rightarrow a=\frac{1}{2}\Rightarrow b=\frac{1}{4}.$

Đến đây chắc ok r~~!!

quá tốn sức ấy chứ! cái phần ví dụ là bạn e nói nên cho thêm vô, đọc cứ kiểu gì ^^
tks nhé. khá hay đó. chỉ có điều hơi tốn sức quá :D mà thi ddh chắc nó cx ko ra đến câu này vì nặng về phương pháp quá :D

Ngọc · Answer 2 · 4/26/2016 11:08:30 PM

Bình chọn tăng 10 Bình chọn giảm

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}$

$\leq$

$k.(x+y+z)$

$\leftrightarrow$

$6\sqrt{xy}+6.\sqrt[3]{xyz}$

$\leq$

$(6k-6)x+6ky+6kz$ .(1)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$6.\sqrt{xy}=3.\sqrt{x.4y}$

$\leq$

$\frac{3}{2}.x+6y.$

$6.\sqrt[3]{xyz}$

$\leq$

$\frac{x}{2}+2y+8z$ .

Cộng vế vs vế ta có:

$6.\sqrt{xy}+6.\sqrt[3]{xyz}$

$\leq$

$2x+8y+8z$ (2).

Từ (1) và(2) -->

$k$ nhỏ nhất

$\leftrightarrow$

$\begin{cases}6k-6=2 \\ 6k=8 \end{cases}$

$\leftrightarrow$

$k=\frac{4}{3}$

Trả lời 26-04-16 11:08 PM

Ngọc
1

149K 322K

bạn Ngọc cho mình hỏi là bài này bạn dự đoán điểm rơi như thế nào vậy? chỉ mình với – dolaemon 27-04-16 07:21 PM

Hỏi	26-04-16 07:51 PM
Lượt xem	1571
Hoạt động	16-05-16 02:51 PM

Bài cũ- Cho $x,y,z>0$ .Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq k(x+y+z)$

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bài cũ- Cho x,y,z>0x,y,z>0.Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho: x+√xy+3√xyz≤k(x+y+z)x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq k(x+y+z)

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

Bài cũ- Cho $x,y,z>0$ .Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho: $x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq k(x+y+z)$