Đặt $x\sqrt x=a; y\sqrt y=b;z\sqrt z=c(abc=8)$
Khi đó $VT=\sum\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}}$
Ta có $\sqrt{a^3+1} =\sqrt{(a+1)(a^2-a+1)} \le \frac{a^2+2}{2}$Tương tự $\sqrt{b^3+1} \le \frac{b^2+2}{2}$
Nên $\sum\frac{a^2}{\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)}} \ge \sum \frac{4a^2}{(a^2+2)(b^2+2)}$
Ta sẽ cm $\sum\frac{a^2}{(a^2+2)(b^2+2)} \ge \frac 13$(*)
Thật vậy (*)$\Leftrightarrow \frac{a^2(c^2+2)+b^2(a^2+2)+c^2(b^2+2)}{(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)} \ge \frac 13$
$\Leftrightarrow 3\sum a^2b^2+6\sum a^2 \ge a^2b^2c^2+2\sum a^2b^2 +4\sum a^2+8$
$\Leftrightarrow \sum a^2b^2+2\sum a^2 \ge72$
Dễ dàng thấy bđt cuối đúng
Vậy GTNN của $P$ là $\frac 43$ đạt đc tại $x=y=z=\sqrt[3]{4}$