bài cơ bản nhất của qui nạp toán học nè..!?

Question

chứng minh rằng:

$\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \frac{(a+b)^{n}}{2^{n}}$ (với mọi $n\in N^{*}$ )

(có ai quan tâm đến phương pháp chứng minh BĐT này thì vote cho m ha)

tran85295 · Answer 1 · 4/16/2016 7:35:05 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Với

$n=1$ ,bđt đúng

Giả sử bđt đúng với

$n=k$ , tức là ta có

$\frac{a^k+b^k}{2} \ge \frac{(a+b)^k}{2}(\star)$

Bh ta chỉ cần chứng minh đúng với

$n=k+1$ :

$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} \ge \frac{(a+b)^{k+1}}{2}$

Đầu tiên ta chứng minh

$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2} \ge \frac{a^k+b^k}{2}.\frac{a+b}{2}(\star \star)$

$(\star \star)\Leftrightarrow 2(a^{k+1}+b^{k+1}) \ge (a^k+b^k)(a+b)$

$\Leftrightarrow a^{k+1}+b^{k+1} \ge a^kb+ab^k$

Bất đẳng thức trên đúng do:

$k$ số hạng

$VT=\frac{\overbrace{a^{k+1}+a^{k+1}+..+a^{k+1}}+b^{k+1}}{k+1}+ \frac{\overbrace{b^{k+1}+b^{k+1}+...+b^{k+1}}+a^{k+1}}{k+1}$

$\ge\frac{(k+1)\sqrt[k+1]{(a^{k+1})^k.b^{k+1}}}{k+1}+\frac{(k+1)\sqrt[k+1]{(b^{k+1})^k.a^{k+1}}}{k+1}$ ( bất đẳng thức cosi cho

$k+1$ số)

$=a^kb+ab^k$
~~~~~~~~~

Từ

$(\star),(\star \star)$ ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra

$\Leftrightarrow a=b$

Trả lời 16-04-16 07:35 PM

tran85295
21 2

10M 559K

vote rồi nhé..... – [_đéo_có_tên_] 17-04-16 01:35 PM

sory nhé....thekingdomofmagic01 đã dùng hết 30 lượt bình chọn mất rồi....mai vote cho....hứa đấy....!? – [_đéo_có_tên_] 16-04-16 07:44 PM

gõ mệt quá :v – tran85295 16-04-16 07:42 PM

vote up hộ :3 – tran85295 16-04-16 07:42 PM

ok chuẩn luôn.......tuyệt vời ông mặt trời....!!! – [_đéo_có_tên_] 16-04-16 07:39 PM

đây là phương pháp qui nạp – tran85295 16-04-16 07:38 PM

tran85295 · Answer 2 · 4/16/2016 5:45:01 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Áp dụng bđt Bunhiacopxki cho

$n$ dãy 2 số thực :

$\underbrace{(1+1)(1+1)(1+1)...(1+1)}(a^n+b^n) \ge (\sqrt[n]{1^{n-1}.a^n}+\sqrt[n]{1^{n-1}.b^n})^n=(a+b)^n$

$\qquad \qquad \qquad n-1 \quad \text{số}$

$\Leftrightarrow 2^{n-1}(a^n+b^n) \ge (a+b)^{n}$

Tương đương với đpcm

Dấu

$"="$ xảy ra

$\Leftrightarrow a=b$

Trả lời 16-04-16 05:45 PM

tran85295
21 2

10M 559K

ok để làm cho – tran85295 16-04-16 07:28 PM

qui nạp mà..... – [_đéo_có_tên_] 16-04-16 07:23 PM

quy nạp á – tran85295 16-04-16 07:13 PM

cách này rất hay....nhưng ý e là làm theo QNTH í....Trần Hoàng Nam làm lại được không...!? – [_đéo_có_tên_] 16-04-16 07:12 PM

Hỏi	16-04-16 05:25 PM
Lượt xem	1598
Hoạt động	16-04-16 07:35 PM

bài cơ bản nhất của qui nạp toán học nè..!?

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

bài cơ bản nhất của qui nạp toán học nè..!?

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan