Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x(x+y+z)= 3yz$.Cmr :$(x+y)^{3}+(x+z)^{3}+3(x+y)(y+z)(z+x) \leq 5(y+z)^{3}$
Đặt $y=ax;z=bx(a;b>0)\Rightarrow x^2(1+a+b)=3abx^2\Leftrightarrow a+b+1=3ab$
Cần CM $x^3(a+1)^3+x^3(b+1)^3+3x^3(a+1)(b+1)(a+b)\le5x^3(a+b)^3$
$\Leftrightarrow (a+1)^3+(b+1)^3+3(a+1)(b+1)(a+b)\le 5(a+b)^3$
$\Leftrightarrow (a+b+2)^3-3(a+b+2)(a+1)(b+1)+3(a+b)(a+1)(b+1)\le 5(a+b)^3$
$\Leftrightarrow (a+b+2)^3-6(a+1)(b+1)\le5(a+b)^3$
$\Leftrightarrow (a+b+2)^3-2(3ab+3a+3b+3)\le 5(a+b)^3$
$\Leftrightarrow (a+b+2)^3-2(4a+4b+4)\le5(a+b)^3$
Đặt $t=a+b$
BĐT $\Leftrightarrow (t+2)^3-8(t+1)\le5t^3\Leftrightarrow 4t^3-6t^2-4\ge0$
$\Leftrightarrow t(t-2)(2t+1)\ge0$
Ta có $a+b+1=3ab\le \frac34(a+b)^2\Leftrightarrow 3(a+b)^2-4(a+b)-4\ge0$
$\Leftrightarrow a+b\ge2$
Từ đó suy ra BĐT đúng