BĐT!!!

Question

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.Tìm GTLN:

$P=(1+9xyz-x-y-z)(\frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx})$

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 5/13/2016 10:08:43 PM

Nếu : $1+9xyz-x-y-z \leq 0 => P \leq 0$
Nếu : $1+9xyz-x-y-z >0$ . Áp dụng bđt C-S :
$(x+y+z=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \geq 3\sqrt{xyz}.3\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}$
$=> x+y+z \geq 9xyz => 1 +x+y+z \geq 1+9xyz$
$\Rightarrow 0<1+9xyz-x-y-z \leq 1$
$\Rightarrow (1+9xyz-x-y-z)( \frac{1}{1-xy}+\frac{1}{1-yz}+\frac{1}{1-zx}) \leq \sum_{cyc}\frac{1}{1-xy}$
Có : $\sum_{cyc} \frac{1}{1-xy}=3+\sum_{cyc}\frac{xy}{1-xy}$
Từ gt : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, có : $
$\frac{xy}{1-xy} \leq \frac{2xy}{2-(x^{2}+y^{2})} \leq 1/2 - \frac{(x+y)^{2}}{(x^{2}+z^{2})+(y^{2}+z^{2})} (1)$
( do : $(x+y)^{2} \geq 4xy)$
Ta lại có :
$\frac{(x+y)^{2}}{(x^{2}+y^{2})+(y^{2}+z^{2})} \leq \frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+z^{2}} (2)$
Từ (1) và (2) : suy ra :
$\frac{xy}{1-xy} \leq 1/2(\frac{x^{2}}{x^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{y^{2}+z^{2}})$
Tương tự : ....
All $=> \sum_{cyc}\frac{xy}{1-xy} \leq 3 + 3/2 = 9/2 $
=>$ Max = 9/2<=> x=y=z = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Hỏi	11-04-16 08:12 PM
Lượt xem	759
Hoạt động	13-05-16 10:08 PM

BĐT!!!

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

BĐT!!!

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan