Giả sử $T$ là số lớn nhất thỏa mãn điều kiện đề bài. Gọi $P$ là biểu thức vế trái của điều kiện đã nói.Lấy $a=b=c=1$ thì có $3\geq T$ (1).
Mặt khác từ bất đẳng thức AM-GM suy ra
$P\geq3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+1)(b+1)(c+1)}}=3\sqrt[3]{\frac{2+a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b}{2+a+b+c+ab+bc+ca}}$.
Trường hợp $ab+bc+ca\geq a+b+c$. Khi đó có
$a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b \geq 4(ab+bc+ca)-2(a+b+c)$
$\geq a+b+c+ab+bc+ca$.
Cho nên $P\geq 3$.
Trường hợp $ab+bc+ca< a+b+c$. Khi đó có
$a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2a+c^2b > 3(a+b+c)-1$
$> a+b+c+ab+bc+ca$.
Cho nên $P> 3$.
Từ hai trường hợp trên suy ra $P\geq3$. Điều này chứng tỏ $3$ vẫn thỏa mãn điều kiện đề bài. Vì tính lớn nhất của $T$ nên $T\geq3$ (2).
Kết hợp (1) và (2) thì có $T=3$.