Nhận xét: Từ bài toán ta thấy dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. Và biểu thức P ta sẽ biến đổi và đánh giá 2 căn thức đầu tiên sao cho có thể "có hình thức giống " biểu thức thứ 3.Vây ta sẽ cô gắng làm sao cho :
3√2a7a2+3b2+6c≤A+aa+b+c(A:const)
Trong đó A là hằng số sao cho dấu bằng xảy ra.
Vậy ta có thể đánh giá như thế nào để được ? Ta có thể nghĩ theo hướng sau :Mẫu ở biểu thức cuối cùng là a1+b1+c1 còn mẫu ở các biểu thức cần đánh giá 7a2+3b2+6c. Vây tự nhiên và đơn giản nhất ta sẽ dùng a2+1≥2a.Ở dạng phân thức có nhiều BĐT để đánh giá , ở đây mình dùng 1a+b≤14.(1a+1b), cùng với cân bằng hệ số để có điểm rơi, cụ thể :
Lời giải:
Từ giả thiết suy ra : a+b+c≥3 suy ra 5(a+b+c)≥15
Ta có :
2a7a2+3b2+6c=2a7(a2+1)+3(b2+1)+6c−10≤2a14a+6b+6c−10=a4a+3(a+b+c)−5
=3a12a+9(a+b+c)−15≤3a12a+4(a+b+c)=3a4.1(3a+(a+b+c))≤3a4.4(13a+1a+b+c)
Do đó :
4.3√2a7a2+3b2+6c≤4.3√3a16.(13a+1a+b+c)=4.3√94.316.23.23.(13+aa+b+c)=3.3√23.23.(13+aa+b+c)≤53+aa+b+c
Đáng giá tương tư :
4.3√2b7b2+3c2+6a≤53+ba+b+c;
abc2a+b+c=ca+b+c;
Do đó :P≤103+a+b+ca+b+c=133
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1