Ta chứng minh $a^5+b^5 \ge \frac{(a^2+b^2)(a^3+b^3)}{2}$(*)Thật vậy (*)$\Leftrightarrow 2a^5+2b^5 \ge a^5+b^5+a^2b^3+a^3b^2\Leftrightarrow a^5+b^5 \ge a^2b^3+a^3b^2$
Đúng theo bđt cosi 5 số: $a^5+b^5=\frac{a^5+a^5+a^5+b^5+b^5}{5}+\frac{b^5+b^5+b^5+a^5+a^5}{5} \ge a^3b^2+a^2b^3$
Việc còn lại là chứng minh $ \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \ge \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow 4(a^3+b^3) \ge (a+b)^3\Leftrightarrow a^3+b^3 \ge ab(a+b)$
$\Leftrightarrow (a+b)(a-b)^2 \ge0$ (luôn đúng )
Vậy ta có đpcm, đẳng thức $\Leftrightarrow a=b$