Từ điều kiện đã cho suy ra tồn tại $\triangle ABC$ sao cho $a=tan\frac{A}{2},b=2016tan\frac{B}{2},c=tan\frac{C}{2}$.Khi đó có $P=2cos^2\frac{A}{2}-2sin^2\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}$
$=cosA+cosB+3(1-sin^2\frac{C}{2})$
$\leq -3sin^2\frac{C}{2}+2sin\frac{C}{2}+3$
$\leq -3(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3})^2+\frac{10}{3}$
$\leq \frac{10}{3}$.
Như vậy $P\leq \frac{10}{3}$; đồng thời khi lấy $a=\frac{\sqrt{2}}{2},b=1008\sqrt{2},c=\frac{\sqrt{2}}{4}$ thì điều kiện đề bài được thỏa mãn và $P=\frac{10}{3}$.
Vậy $P$ đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{10}{3}$.