Ta có:$\sum_{}^{} \frac{a+1}{b^2+1}=\sum_{}^{} (a+1)-\sum_{}^{} \frac{(a+1)b^2}{b^2+1}\geq \sum_{}^{} (a+1)-\sum_{}^{} \frac{b^2(a+1)}{2b}$
$=3+\frac{a+b+c-ab-bc-ca}{2}\geq 3$.
Vì $3(a+b+c)=(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a+b+c-ab-bc-ca\geq 0.$
Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$.
Nếu bạn thấy đúng thì vote up và chấp nhận bằng cách click vào dấu "V" màu xanh nha :D