Ko mất tính TQ, g/s $a\geq b\geq c$ và $a^2+b^2+c^2=1$Ta có:
$2(a^2+b^2+3c^2)-10ab=5(a-b)^2+3(c^2-a^2+c^2-b^2)$
Do đó:
$\Sigma \frac{ab}{a^2+b^2+3c^2}-\frac{3}{k+2}=-\frac{1}{12}\Sigma \frac{5(a-b)^2+3(c^2-a^2+c^2-b^2)}{1+2c^2}$
Như z bđt tg đg vs:
$ 5\Sigma \frac{(a-b)^2}{1+2c^2}$$\geq $$6\Sigma \frac{(a-b)^2(a+b)^2}{(1+2a^2)(1+2b^2)}$$\Leftrightarrow$ $\Sigma$ $Sc(a-b)^2 $\geq 0$
Trong đó:
$Sc=(5(1+2a^2)(1+2b^2)-6(a+b)^2(1+2c^2)$
$Sb=.........$
$Sa=.........$
Đặt $x=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
Dễ thấy $Sc\geq 0$ và $(a+c)^2(1+2b^2)+(b+c)^2(1+2a^2)$
ta sẽ c/m $Sa+Sb\geq 0$, thật z:
$Sa+Sb\geq 10(1+2c^2)(1+2x^2)-6(x+c)^2(1+2x^2)\geq 0$
$\Leftrightarrow 5(2x^2+3c^2)\geq 6(x+c)^2$
$\Leftrightarrow 4x^2-12xc+9c^2\geq 0$ lđ
Vs $y=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}$ tg tự
Ta c/m $Sb\geq 0$, khi đó:
$\Sigma Sa<nhỏ>(b-c)^2\geq (Sb+Sa)(b-c)^2+(Sb+Sc)(a-b)^2\geq 0$
tự c/m nhak!
Vậy ta có đpcm!