Giả sử $x \ge y \ge z \ge0$Khi đó ta có $x(y-x)(y-z) \le0$
$\Leftrightarrow xy^2+zx^2 \le yx^2+xyz$
$\Leftrightarrow xy^2+zx^2+z^2y \le yx^2+xyz+z^2y=y(x^2+xz+z^2) \le y(x+z)^2$
$= \frac 12.2y.(x+z)^2 \le \frac 12(\frac{2y+x+z+x+z}{3})^3=\frac{4}{27}$
Dấu $"="$ xảy ra khi $z=0,y = \frac 13, x= \frac 23$ và các hoán vị tương ứng