Cho $3$ số thực $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc+a+c=b$ . Tìm GTLN của: $P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3}{1+c^{2}}$

Question

Cho

$3$ số thực

$a,b,c$ dương thỏa mãn

$abc+a+c=b$ . Tìm GTLN của:

$P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3}{1+c^{2}}$

nhìn cái tỉ lệ hỏi và trl ... thấy shock quá! :D
mình mới chỉ biết kết quả, hình như là 10/3 ý

☼SunShine❤️ · Answer 1 · 5/17/2016 5:34:35 PM

Bình chọn tăng 25 Bình chọn giảm

Từ gthiêt suy ra:

$ac+a.\frac{1}{b}+c.\frac{1}{b}=1$

suy ra tồn tại

$\Delta ABC$ sao cho

$a=tan\frac{A}{2};\frac{1}{b}=tan\frac{B}{2};c=tan\frac{C}{2}$

Khi đó:

$P=2.cos^2\frac{A}{2}-2sin^2$

$\frac{B}{2}+3cos^2\frac{C}{2}$

$P=cosA+cosB+3-3sin^2\frac{C}{2}$

$=2sin\frac{C}{2}.cos\frac{A-B}{2}+3-3sin^2\frac{C}{2}$

$=3-3(sin\frac{C}{2}-\frac{1}{3}.cos\frac{A-B}{2})^2+\frac{1}{3}.cos^2\frac{A-B}{2}\leq \frac{10}{3}$

Vậy max

$P=\frac{10}{3}$ khi

$a= \frac{1}{\sqrt{2}};b=\sqrt{2};c=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
P/s : Tui chỉnh nv k chắc :D nếu như của bà thì nó ra

$\leq 3$

lịch sử

Sửa 17-05-16 05:34 PM

☼SunShine❤️
25 5

1M 788K

1

Trả lời 15-04-16 11:42 PM

Confusion
408 6

164K 882K

ra rồi :D – ☼SunShine❤️ 18-05-16 05:45 PM

để khi nào có thời gian... – Confusion 17-05-16 05:38 PM

kiểm tra đi :D xong sửa lại -_- chứ tui nhấn vào sửa nó ra cái vớ vẩn gì ý , kiểu như bị lỗi T_T – ☼SunShine❤️ 16-05-16 06:08 AM

sai chỗ nào nữa? ???? – Confusion 15-05-16 12:43 PM

mà nếu như của bà thì lm sao =< 10/3 đc – ☼SunShine❤️ 15-05-16 10:56 AM

tự xem lại r sửa nhá ;) chỗ

$sin^{2} C/2$ p có hệ số 3 nưaax – ☼SunShine❤️ 15-05-16 10:51 AM

bà xem lại bài đi -_- gì mà ẩu v – ☼SunShine❤️ 15-05-16 10:49 AM

:D ............... – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 19-04-16 10:00 PM

r đó bn! Sr nh! – Confusion 19-04-16 09:58 PM

k đủ sò để xem :( c ơi giúp đi – 19-04-16 05:14 PM

dạ................................. – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 16-04-16 12:51 AM

uh! thanks e! e cx ngủ ngon nhak! ^-^ – Confusion 16-04-16 12:27 AM

lát chị ngủ ngon – ๖ۣۜJinღ๖ۣۜKaido 16-04-16 12:24 AM

☼SunShine❤️ · Answer 2 · 5/18/2016 6:30:08 PM

Bình chọn tăng 19 Bình chọn giảm

P/s : Đây là lý do tại sao nên lm theo pp lg :v

Trả lời 18-05-16 06:30 PM

☼SunShine❤️
25 5

1M 788K

1

Confusion · Answer 3 · 6/1/2016 10:37:45 PM

Bình chọn tăng 18 Bình chọn giảm

Cách 3 đi ==":

Từ giả thiết suy ra:

$b=\frac{a+c}{1-ac}.$

Đặt

$a=tanA;b=....c=....$

Khi đó:

$tanB=\frac{tanA+tanC}{1-tanA.tanC}=tan(A+C)$

$\Rightarrow B=A+C$

Do đó:

$P=2cos^2A-2cos^2B+3cos^2C=cos2A-cos2C+3cos^2C$

$P=2sinC.sin(A+B)-3sin^2C+3$

$P=-[\sqrt{3}sinC-\frac{1}{\sqrt{3}}sin(A+B)]^2+\frac{1}{3}sin^2(A+B)+3$

$\rightarrow P\leq 3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}$

Vậy

$maxP=\frac{10}{3}$

Đẳng thức khi:

$sin(A+B)=1$

$sinC=\frac{1}{3}.sin(A-B)$

$B=A+C$

$\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{2};b=\sqrt{2};c=\frac{\sqrt{2}}{4}./$

Note:

lịch sử

Sửa 01-06-16 10:37 PM

Confusion
408 6

164K 882K

Trả lời 01-06-16 10:05 PM

Confusion
408 6

164K 882K

mak cmt r thì vote hộ phát ==", keo kiệt ==" – Confusion 01-06-16 10:47 PM

ak r r :)) thanks – Confusion 01-06-16 10:34 PM

hình như phải là sin(AcộngB)=1 – ๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ 01-06-16 10:30 PM

cả 2 luôn hehe – ๖ۣۜDevilღ 01-06-16 10:25 PM

cái hình hay bài làm ca? ==" – Confusion 01-06-16 10:24 PM

quá hay :D – ๖ۣۜDevilღ 01-06-16 10:21 PM

☼SunShine❤️ · Answer 4 · 6/12/2016 1:30:23 AM

Bình chọn tăng 17 Bình chọn giảm

Cách 4 đi :)) (ad bđt AM-GM)
Có :

$P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3(1+ab)^{2}}{(1+ab)^{2}+(b-a)^{2}}=\frac{2(b^{2}-a^{2})-3(b-a)^{2}}{(1+a^{2})(a+b^{2})}+3=\frac{(3b-3a)(5a-b)}{3(1+a^{2})(a+b^{2})}+3 \leq \frac{\left ( \frac{2(a+b)}{2}\right )^{2}}{3(a+b)^{2}}+3=\frac{10}{3}$

Trả lời 12-06-16 01:30 AM

☼SunShine❤️
25 5

1M 788K

1

Hỏi	08-03-16 09:02 PM
Lượt xem	10418
Hoạt động	12-06-16 01:30 AM

Cho $3$ số thực $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc+a+c=b$ . Tìm GTLN của: $P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3}{1+c^{2}}$

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +2000 vỏ sò bởi takanashi rikka, đã hết hạn vào lúc 09-03-16 09:43 PM

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Cho 33 số thực a,b,ca,b,c dương thỏa mãn abc+a+c=babc+a+c=b. Tìm GTLN của: P=21+a2−21+b2+31+c2P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3}{1+c^{2}}

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +2000 vỏ sò bởi takanashi rikka, đã hết hạn vào lúc 09-03-16 09:43 PM

4 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

Cho $3$ số thực $a,b,c$ dương thỏa mãn $abc+a+c=b$ . Tìm GTLN của: $P=\frac{2}{1+a^{2}}-\frac{2}{1+b^{2}}+\frac{3}{1+c^{2}}$