Từ điều kiện suy ra $\sqrt{n}=\sum_{cyc}\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{6(a^2+b^2+c^2)}$, hay $a^2+b^2+c^2\geq \frac{n}{6}$.Từ đó có $\sum_{cyc}\frac{a^2}{b+c}\geq \sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}} $ (theo bất đẳng thức C - S)
$\geq \frac{1}{3}\sum_{cyc}a^2\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$ (theo bất đẳng thức Chebyshev)
$\geq \frac{1}{3}\sum_{cyc} a^2\frac{9}{\sum_{cyc} \sqrt{2(b^2+c^2)}}$ (theo bất đẳng thức C - S)
$\geq\frac{1}{3}.\frac{n}{6}.\frac{9}{\sqrt{2n}}$
$\geq \frac{\sqrt{2n}}{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{2n}}{6}$.