Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{1}{2}.\sqrt{\frac{n}{2}}$

Question

Giúp mình!!

Cho a,b,c>0 thỏa mãn

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}$

$=$

$\sqrt{n}$

Chứng minh rằng

$\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{a+c}+\frac{c^{2}}{a+b} \geq \frac{1}{2}.\sqrt{\frac{n}{2}}$

score 5 · Answer 1

Từ điều kiện suy ra

$\sqrt{n}=\sum_{cyc}\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{6(a^2+b^2+c^2)}$ , hay

$a^2+b^2+c^2\geq \frac{n}{6}$ .

Từ đó có

$\sum_{cyc}\frac{a^2}{b+c}\geq \sum_{cyc}\frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$ (theo bất đẳng thức C - S)

$\geq \frac{1}{3}\sum_{cyc}a^2\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$ (theo bất đẳng thức Chebyshev)

$\geq \frac{1}{3}\sum_{cyc} a^2\frac{9}{\sum_{cyc} \sqrt{2(b^2+c^2)}}$ (theo bất đẳng thức C - S)

$\geq\frac{1}{3}.\frac{n}{6}.\frac{9}{\sqrt{2n}}$

$\geq \frac{\sqrt{2n}}{4}$ .

Đẳng thức xảy ra khi

$a=b=c=\frac{\sqrt{2n}}{6}$ .

1 Đáp án