a) Đường thẳng $AB$ có vpcp $\overrightarrow{AB}=(-4;3)$ nên có vtpt $\overrightarrow{n}=(3;4)$
Suy ra pt $AB:\quad 3x+4y-12=0$
Tập hợp các điểm cách $AB$ một khoảng bằng $2$ thuộc đường thẳng song song với $AB$ nên đường thẳng đó có dạng:
$3x+4y+c=0$. Do khoảng cách bằng $2$ nên khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng đó bằng $2$ hay:
$\dfrac{|3.4+4.0+c|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=2\Leftrightarrow \dfrac{|12+c|}{5}=2$
$\Leftrightarrow |12+c|=10\Rightarrow c= -2$ hoặc $c=-22$
Vậy tập hợp các điểm cách $AB$ một khoảng bằng $2$ là hai đường thẳng $3x+4y-2=0$ và $3x+4y-22=0$
b) Chú ý: Véc tơ không thể nói nhỏ hơn hay lớn hơn nên không thể có giá trị nhỏ nhất, có lẽ câu hỏi ở đây là độ dài véc tơ. Nếu là độ dài véc tơ nhỏ nhất thì làm như sau:
Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ với $I$ là trung điểm $AB$. Khi đó $|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}|$ nhỏ nhất khi $\overrightarrow{MI}$ nhỏ nhất. Khi đó $M$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ đến đường thẳng $d$.
Ta có $\begin{cases}x_{I}=\dfrac{4+0}{2}=2 \\ y_{I}=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}\end{cases}\Rightarrow I\left( 2;\dfrac{3}{2}\right)$
Đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $d$ nên có vtpt $\overrightarrow{n}=(-3;1)$, do đó có pt:
$-6x+2y+9=0$
Điểm $M$ có tọa độ là nghiệm của hệ $\begin{cases}x+3y+1=0 \\ -6x+2y+9=0\end{cases}$
Giải hệ được $\begin{cases}x=\dfrac{5}{4}\\ y=-\dfrac{3}{4}\end{cases}$. Vậy $M\left(\dfrac{5}{4}; -\dfrac{3}{4}\right)$