$\color{red}{x^2-1 \leq 2x\sqrt{x^2+2x}}$ Điều kiện: $x \ge 0$ hoặc $x \le -2.$
Với $x \le -2$, ta có:
$\begin{cases}x^2-1>0 \\ 2x\sqrt{x^2+2x}<0 \end{cases}$
nên bất phương trình đã cho vô nghiệm $\forall x \le -2.$
Với $x \ge 0$, ta có:
1. Với $0 \le x \le1,$ ta có:
$\begin{cases}x^2-1<0 \\ 2x\sqrt{x^2+2x}>0 \end{cases}$
nên bất phương trình đã cho đúng $\forall x \in [0;1].$
2. Với $x >1,$ ta có bất phương trình đã cho tương đương với:
$(x^2-1)^2 \le 4x^2(x^2+2x)$
$\Leftrightarrow 3x^4+8x^3+2x^2-1 \ge 0$ (luôn đúng $\forall x >1$)
nên bất phương trình đã cho đúng $\forall x > 1.$
Từ đó, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $\color{red}{S=[0;+\infty )}$.