Quay lại đáp án

$\color{red}{x^2-1 \leq 2x\sqrt{x^2+2x}}$ Điều kiện: $x \ge 0$ hoặc $x \le -2.$ Với $x \le -2$, ta có: $\begin{cases}x^2-1>0 \\ 2x\sqrt{x^2+2x}<0 \end{cases}$nên bất phương trình đã cho vô nghiệm $\forall x \le -2.$ Với $x \ge 0$, ta có:1. Với $0 \le x \le1,$ ta có: $\begin{cases}x^2-1<0 \\ 2x\sqrt{x^2+2x}>0 \end{cases}$nên bất phương trình đã cho đúng $\forall x \in [0;1].$2. Với $x >1,$ ta có bất phương trình đã cho tương đương với: $(x^2-1)^2 \le 4x^2(x^2+2x)$$\Leftrightarrow 3x^4+8x^3+2x^2-1 \ge 0$ (luôn đúng $\forall x >1$)nên bất phương trình đã cho đúng $\forall x > 1.$Từ đó, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $\color{red}{S=[2;+\infty )}$.

$\color{red}{x^2-1 \leq 2x\sqrt{x^2+2x}}$ Điều kiện: $x \ge 0$ hoặc $x \le -2.$ Với $x \le -2$, ta có: $\begin{cases}x^2-1>0 \\ 2x\sqrt{x^2+2x}<0 \end{cases}$nên bất phương trình đã cho vô nghiệm $\forall x \le -2.$ Với $x \ge 0$, ta có:1. Với $0 \le x \le1,$ ta có: $\begin{cases}x^2-1<0 \\ 2x\sqrt{x^2+2x}>0 \end{cases}$nên bất phương trình đã cho đúng $\forall x \in [0;1].$2. Với $x >1,$ ta có bất phương trình đã cho tương đương với: $(x^2-1)^2 \le 4x^2(x^2+2x)$$\Leftrightarrow 3x^4+8x^3+2x^2-1 \ge 0$ (luôn đúng $\forall x >1$)nên bất phương trình đã cho đúng $\forall x > 1.$Từ đó, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: $\color{red}{S=[0;+\infty )}$.